Как решить неравенство: f`(x) > 0, если f(x) = 12x^3 + 18x^2 - 7x + 1?

Алгебра 11 класс Неравенства и производные неравенство решение неравенства производная функции алгебра f'(x) > 0 f(x) = 12x^3 + 18x^2 - 7x + 1 Новый

Для решения неравенства f'(x) > 0, сначала необходимо найти производную функции f(x). Давайте начнем с нахождения производной.

Функция f(x) задана как:

f(x) = 12x^3 + 18x^2 - 7x + 1

Теперь найдем производную f'(x):

• Производная от 12x^3 равна 36x^2.
• Производная от 18x^2 равна 36x.
• Производная от -7x равна -7.
• Производная от постоянной 1 равна 0.

Таким образом, производная функции f(x) будет:

f'(x) = 36x^2 + 36x - 7

Теперь у нас есть неравенство:

36x^2 + 36x - 7 > 0

Для того чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни квадратного уравнения 36x^2 + 36x - 7 = 0 с помощью формулы корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 36, b = 36, c = -7.

Сначала вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 36² - 4 * 36 * (-7) = 1296 + 1008 = 2304.

Теперь найдем корни:

• x1 = (-36 + √2304) / (2 * 36)
• x2 = (-36 - √2304) / (2 * 36)

Сначала найдем √2304:

√2304 = 48.

Теперь подставим это значение в формулы для корней:

• x1 = (-36 + 48) / 72 = 12 / 72 = 1/6.
• x2 = (-36 - 48) / 72 = -84 / 72 = -7/6.

Теперь у нас есть два корня: x1 = 1/6 и x2 = -7/6.

Следующий шаг - определить знаки функции f'(x) на интервалах, образованных этими корнями. Мы рассмотрим интервалы:

• (-∞, -7/6)
• (-7/6, 1/6)
• (1/6, +∞)

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -7/6), например, x = -2:
• f'(-2) = 36(-2)² + 36(-2) - 7 = 144 - 72 - 7 = 65 > 0.
• Для интервала (-7/6, 1/6), например, x = 0:
• f'(0) = 36(0)² + 36(0) - 7 = -7 < 0.
• Для интервала (1/6, +∞), например, x = 1:
• f'(1) = 36(1)² + 36(1) - 7 = 36 + 36 - 7 = 65 > 0.

Теперь мы можем сделать вывод о знаках производной:

• На интервале (-∞, -7/6) f'(x) > 0.
• На интервале (-7/6, 1/6) f'(x) < 0.
• На интервале (1/6, +∞) f'(x) > 0.

Таким образом, неравенство f'(x) > 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -7/6)
• (1/6, +∞)

Ответ: f'(x) > 0 на интервалах (-∞, -7/6) и (1/6, +∞).