Помогите, ну хоть кто-нибудь, пожалуйста:

Решите неравенство f'(x) > 0, если f(x) = x^3 - 3x + 7.

Алгебра 11 класс Неравенства и производные алгебра 11 класс неравенство производная f'(x) > 0 f(x) = x^3 - 3x + 7 решение неравенства математический анализ функции график функции критические точки Новый

Давайте решим неравенство f'(x) > 0 для функции f(x) = x^3 - 3x + 7. Начнем с нахождения производной функции f(x).

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).

Функция f(x) = x^3 - 3x + 7. Чтобы найти производную, мы воспользуемся правилом дифференцирования:

• Производная x^n = n * x^(n-1).
• Производная константы равна 0.

Теперь применим это правило к нашей функции:

• Производная от x^3 = 3x^2.
• Производная от -3x = -3.
• Производная от 7 = 0.

Таким образом, производная f'(x) будет равна:

f'(x) = 3x^2 - 3.

Шаг 2: Упростим производную.

Теперь мы можем упростить выражение:

f'(x) = 3(x^2 - 1).

Далее, мы можем разложить на множители:

f'(x) = 3(x - 1)(x + 1).

Шаг 3: Найдем, когда f'(x) > 0.

Теперь нам нужно решить неравенство:

3(x - 1)(x + 1) > 0.

Поскольку 3 - положительное число, мы можем упростить неравенство до:

(x - 1)(x + 1) > 0.

Шаг 4: Найдем нули функции.

Нули функции (где произведение равно 0) находятся при:

• x - 1 = 0 → x = 1,
• x + 1 = 0 → x = -1.

Таким образом, нули функции - это x = -1 и x = 1.

Шаг 5: Определим знаки на интервалах.

Теперь мы можем разбить числовую ось на интервалы, используя найденные нули:

• (-∞, -1),
• (-1, 1),
• (1, ∞).

Теперь проверим знак произведения (x - 1)(x + 1) на каждом из интервалов:

• Для x < -1 (например, x = -2): (-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) > 0.
• Для -1 < x < 1 (например, x = 0): (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) < 0.
• Для x > 1 (например, x = 2): (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) > 0.

Шаг 6: Запишем ответ.

Таким образом, f'(x) > 0 на интервалах:

• (-∞, -1) и (1, ∞).

Ответ: неравенство f'(x) > 0 выполняется для x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, ∞).