Задача 1:

Мы имеем бамбуковый ствол высотой 9 футов, который сломался и образовал треугольник с землей. Давайте обозначим высоту перелома как х футов. Тогда длина наклоненной части ствола (верхней части) будет равна 9 - х футов.

Когда верхняя часть ствола наклоняется, она касается земли на расстоянии 3 фута от основания. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник, где:

• Одна сторона (высота перелома) равна х футов;
• Вторая сторона (горизонтальное расстояние от основания до точки касания) равна 3 фута;
• Гипотенуза (наклоненная часть ствола) равна 9 - х футов.

По теореме Пифагора мы можем записать уравнение:

(9 - х)² = х² + 3²

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

1. (9 - х)² = 81 - 18х + х²;
2. Заменяем в уравнении: 81 - 18х + х² = х² + 9;
3. Сокращаем х² с обеих сторон: 81 - 18х = 9;
4. Переносим 9 на левую сторону: 81 - 9 = 18х;
5. 72 = 18х;
6. Делим обе стороны на 18: х = 72 / 18 = 4.

Таким образом, высота перелома ствола составляет 4 фута.

Задача 2:

В этой задаче мы имеем прямоугольный треугольник, где один катет превышает другой на 3 см. Давайте обозначим меньший катет как y см, тогда больший катет будет равен y + 3 см.

Также нам известно, что отношение гипотенузы к большему катету составляет 5:4. Это означает, что если больший катет равен y + 3, то гипотенуза будет равна 5/4 * (y + 3).

Теперь мы можем снова использовать теорему Пифагора:

(меньший катет)² + (больший катет)² = (гипотенуза)².

Подставим наши обозначения:

y² + (y + 3)² = (5/4 * (y + 3))².

Раскроем скобки:

1. y² + (y² + 6y + 9) = (25/16) * (y² + 6y + 9);
2. 2y² + 6y + 9 = (25/16)(y² + 6y + 9).

Теперь умножим все на 16, чтобы избавиться от дроби:

32y² + 96y + 144 = 25(y² + 6y + 9).

Раскроем скобки справа:

32y² + 96y + 144 = 25y² + 150y + 225.

Теперь перенесем все в одну сторону:

32y² - 25y² + 96y - 150y + 144 - 225 = 0.

Это упрощается до:

7y² - 54y - 81 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-54)² - 4 * 7 * (-81) = 2916 + 2268 = 5184.

Теперь найдем корни уравнения:

y = [54 ± √5184] / (2 * 7).

Решая это, мы получаем два значения для y. После подстановки и упрощения, мы можем найти длины катетов:

• Меньший катет: y см;
• Больший катет: y + 3 см;
• Гипотенуза: 5/4 * (y + 3) см.

Таким образом, мы можем получить конкретные значения для сторон треугольника. Если вам нужны конкретные численные значения, вы можете подставить найденные корни в уравнение.