Для решения данной задачи у нас есть три уравнения:

• A² + B² + AB = 121
• B² + C² + BC = 169
• C² + A² + AC = 400

Наша цель - найти значение выражения AB + BC + CA.

Давайте начнем с того, чтобы выразить каждое из уравнений в удобном для нас виде. Мы можем заметить, что каждое уравнение имеет форму, которая напоминает квадрат суммы:

• A² + B² + AB = (A + B)² - (A + B) = 121
• B² + C² + BC = (B + C)² - (B + C) = 169
• C² + A² + AC = (C + A)² - (C + A) = 400

Теперь мы можем переписать каждое уравнение:

• (A + B)² - (A + B) = 121
• (B + C)² - (B + C) = 169
• (C + A)² - (C + A) = 400

Теперь мы можем обозначить:

• X = A + B
• Y = B + C
• Z = C + A

Тогда у нас есть:

• X² - X = 121
• Y² - Y = 169
• Z² - Z = 400

Теперь мы можем решить каждое из уравнений для X, Y и Z:

1. Для X:

• X² - X - 121 = 0

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = 1² - 4 * 1 * (-121) = 1 + 484 = 485
• X = (1 ± √485) / 2

2. Для Y:

• Y² - Y - 169 = 0

Аналогично решаем:

• D = 1² - 4 * 1 * (-169) = 1 + 676 = 677
• Y = (1 ± √677) / 2

3. Для Z:

• Z² - Z - 400 = 0

Решаем:

• D = 1² - 4 * 1 * (-400) = 1 + 1600 = 1601
• Z = (1 ± √1601) / 2

Теперь, когда у нас есть значения X, Y и Z, мы можем выразить AB + BC + CA следующим образом:

• AB + BC + CA = (X + Y + Z) - (A + B + C)

Сложив все три уравнения, мы получим:

• X + Y + Z = (A + B) + (B + C) + (C + A) = 2(A + B + C)

Таким образом, мы можем выразить AB + BC + CA как:

• AB + BC + CA = (X + Y + Z) - (A + B + C) = (X + Y + Z) - (X + Y + Z) / 2 = (X + Y + Z) / 2

Теперь нам нужно только подставить значения X, Y и Z, которые мы нашли выше, и вычислить итоговое значение.

Таким образом, мы можем найти AB + BC + CA.