Для начала давайте определим область определения функции f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1).

Шаг 1: Найдем область определения.

Область определения функции - это все допустимые значения x, при которых функция имеет смысл. В данном случае, функция определена для всех значений x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.

Знаменатель функции равен нулю, когда:

x - 1 = 0

Решая это уравнение, получаем:

• x = 1

Таким образом, функция f(x) не определена при x = 1. Следовательно, область определения функции:

D(f) = {x ∈ R | x ≠ 1}

Шаг 2: Найдем, при каких значениях x, f(x) < 0.

Для этого рассмотрим неравенство:

(x^2 - 1) / (x - 1) < 0.

Сначала упростим числитель:

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).

Теперь подставим это в неравенство:

((x - 1)(x + 1)) / (x - 1) < 0.

При x ≠ 1 можно сократить (x - 1):

x + 1 < 0.

Решая это неравенство, получаем:

• x < -1.

Таким образом, f(x) < 0 при x < -1.

Шаг 3: Определим, является ли функция возрастающей или убывающей.

Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, найдем производную f'(x).

Для этого воспользуемся правилом деления производных:

Если f(x) = g(x) / h(x), то f'(x) = (g'(x)h(x) - g(x)h'(x)) / (h(x))^2.

В нашем случае:

• g(x) = x^2 - 1, g'(x) = 2x,
• h(x) = x - 1, h'(x) = 1.

Теперь подставим в формулу производной:

f'(x) = (2x(x - 1) - (x^2 - 1)(1)) / (x - 1)^2.

Упростим числитель:

2x^2 - 2x - x^2 + 1 = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2.

Таким образом, получаем:

f'(x) = (x - 1)^2 / (x - 1)^2 = 1, при x ≠ 1.

Так как производная положительна для всех x, кроме x = 1, можно заключить, что функция f(x) является возрастающей на всей своей области определения.

Итак, подводя итог:

• Область определения: D(f) = {x ∈ R | x ≠ 1}.
• f(x) < 0 при x < -1.
• Функция f(x) является возрастающей на всей области определения.