Используя определение, выведите формулу для производной функции y = корень из (1 - 3x).

Алгебра 11 класс Дифференцирование функций алгебра 11 класс производная функции формула производной корень из функции определение производной Новый

Чтобы вывести формулу для производной функции y = √(1 - 3x), мы воспользуемся определением производной. По определению, производная функции в точке x0 равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Формально это записывается так:

f'(x0) = lim (h → 0) [(f(x0 + h) - f(x0)) / h]

В нашем случае f(x) = √(1 - 3x). Теперь нам нужно найти производную этой функции:

1. Определим f(x0) и f(x0 + h):
• f(x0) = √(1 - 3x0)
• f(x0 + h) = √(1 - 3(x0 + h)) = √(1 - 3x0 - 3h)
2. Теперь подставим эти значения в формулу для производной:

f'(x0) = lim (h → 0) [ (√(1 - 3x0 - 3h) - √(1 - 3x0)) / h ]

3. Для упрощения выражения воспользуемся методом умножения на сопряженное:

Умножим числитель и знаменатель на (√(1 - 3x0 - 3h) + √(1 - 3x0):

f'(x0) = lim (h → 0) [ ( (1 - 3x0 - 3h) - (1 - 3x0) ) / (h * (√(1 - 3x0 - 3h) + √(1 - 3x0))) ]

4. Упростим числитель:

f'(x0) = lim (h → 0) [ -3h / (h * (√(1 - 3x0 - 3h) + √(1 - 3x0))) ]

5. Сократим h в числителе и знаменателе (при h ≠ 0):

f'(x0) = lim (h → 0) [ -3 / (√(1 - 3x0 - 3h) + √(1 - 3x0)) ]

6. Теперь подставим h = 0 в предел:

f'(x0) = -3 / (√(1 - 3x0) + √(1 - 3x0)) = -3 / (2√(1 - 3x0))

Таким образом, производная функции y = √(1 - 3x) равна:

y' = -3 / (2√(1 - 3x))