Как можно доказать методом математической индукции, что выражение 2*7^n + 1 делится на 3 для любого натурального числа n?

Алгебра 11 класс Математическая индукция математическая индукция Делимость 2*7^n + 1 натуральные числа доказательство Новый

Чтобы доказать, что выражение 2*7^n + 1 делится на 3 для любого натурального числа n, мы используем метод математической индукции. Этот метод состоит из двух основных шагов: базового случая и индукционного шага.

Шаг 1: Базовый случай

Для начала проверим базовый случай, когда n = 1:

• Подставляем n = 1 в выражение: 2*7^1 + 1 = 2*7 + 1 = 14 + 1 = 15.
• Теперь проверим, делится ли 15 на 3: 15 / 3 = 5. Это целое число, значит, 15 делится на 3.

Таким образом, базовый случай выполнен.

Шаг 2: Индукционный шаг

Теперь предположим, что для некоторого натурального числа k выражение 2*7^k + 1 делится на 3. Это наше индукционное предположение:

2*7^k + 1 = 3m, где m - некоторое целое число.

Теперь нам нужно доказать, что выражение также делится на 3 для n = k + 1:

• Подставим n = k + 1 в выражение: 2*7^(k + 1) + 1.
• Это можно записать как 2*7*7^k + 1 = 2*7*(7^k) + 1.
• Теперь выделим 2*7*(7^k) в индукционном предположении: 2*7*(7^k) = 2*7*(7^k) + 1 = 2*7*(7^k) + 1 = 2*(7^(k + 1)) + 1.

Теперь мы можем выразить это как:

• 2*7^(k + 1) + 1 = 2*7*(7^k) + 1 = 2*(7^k) + 1 + 2*(7^k)(7 - 1).

Мы можем заметить, что:

• 2*(7^k)(7 - 1) = 2*(7^k)*6, что делится на 3, так как 6 делится на 3.

Таким образом, мы можем записать:

• 2*7^(k + 1) + 1 = 3m + 2*(7^k)*6, где 3m - это часть, делящаяся на 3, а 2*(7^k)*6 также делится на 3.

Следовательно, 2*7^(k + 1) + 1 делится на 3.

Заключение

Мы доказали, что если выражение 2*7^k + 1 делится на 3, то и выражение 2*7^(k + 1) + 1 также делится на 3. Поскольку базовый случай выполнен, мы можем заключить, что утверждение верно для любого натурального числа n.