Как можно использовать метод математической индукции, чтобы показать, что для любого n выражение 5 × 9^(n-1) + 2^(4n-3) делится на 7?

Алгебра 11 класс Математическая индукция метод математической индукции выражение 5 × 9^(n-1) делимость на 7 алгебра 11 класс доказательство делимости математическая индукция задачи по алгебре делимость выражений

Метод математической индукции позволяет нам доказать утверждение для всех натуральных чисел n, следуя определенным шагам. Давайте применим его для выражения 5 × 9^(n-1) + 2^(4n-3) и покажем, что оно делится на 7 для любого n.

Шаг 1: База индукции

Начнем с проверки базового случая, когда n = 1:

• Подставим n = 1 в выражение:
• 5 × 9^(1-1) + 2^(4×1-3) = 5 × 9^0 + 2^(4-3) = 5 × 1 + 2^1 = 5 + 2 = 7.
• Поскольку 7 делится на 7, базовый случай верен.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что для некоторого натурального числа k выражение 5 × 9^(k-1) + 2^(4k-3) делится на 7. То есть:

• 5 × 9^(k-1) + 2^(4k-3) = 7m, где m - целое число.

Шаг 3: Индукционный шаг

Теперь мы должны доказать, что выражение верно для n = k + 1:

• Подставим n = k + 1 в выражение:
• 5 × 9^((k+1)-1) + 2^(4(k+1)-3) = 5 × 9^k + 2^(4k + 4 - 3) = 5 × 9^k + 2^(4k + 1).
• Теперь преобразуем это выражение, используя наше индукционное предположение:

Мы можем выразить 5 × 9^k через индукционное предположение:

• 5 × 9^k = 5 × 9 × 9^(k-1) = 5 × 9 × (9^(k-1)).
• Теперь добавим 2^(4k + 1) к индукционному предположению:

Заменим 2^(4k + 1) на 2 × 2^(4k) и используем свойства делимости:

• Мы знаем, что 2^(4k) делится на 7, так как 2^(4k) = (2^4)^k = 16^k, и 16 ≡ 2 (mod 7).
• Таким образом, 5 × 9^k + 2^(4k + 1) = 5 × 9^k + 2 × 2^(4k).

Теперь нам нужно показать, что это выражение также делится на 7:

• 5 × 9^k + 2 × 2^(4k) = (5 × 9^k + 2^(4k - 3)) + 7m, где m - целое число.
• Таким образом, мы видим, что выражение 5 × 9^k + 2^(4k + 1) также делится на 7.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что если выражение верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1. Поскольку базовый случай (n = 1) также верен, мы можем заключить, что для любого натурального n выражение 5 × 9^(n-1) + 2^(4n-3) делится на 7.

Метод математической индукции является мощным инструментом для доказательства утверждений, которые верны для всех натуральных чисел. В данном случае мы хотим показать, что выражение 5 × 9^(n-1) + 2^(4n-3) делится на 7 для любого натурального числа n.

Алгоритм применения метода математической индукции состоит из двух основных шагов:

1. База индукции. Мы проверяем, что утверждение верно для начального значения n = 1.
2. Шаг индукции. Мы предполагаем, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, и показываем, что это приводит к верности утверждения для k + 1.

Теперь рассмотрим эти шаги подробнее:

1. База индукции

Для n = 1 подставим значение в выражение:

5 × 9^(1-1) + 2^(4×1-3) = 5 × 9^0 + 2^(4-3) = 5 × 1 + 2^1 = 5 + 2 = 7.

Число 7 делится на 7, следовательно, база индукции верна.

2. Шаг индукции

Предположим, что утверждение верно для n = k, то есть:

5 × 9^(k-1) + 2^(4k-3) делится на 7.

Это означает, что существует такое целое число m, что:

5 × 9^(k-1) + 2^(4k-3) = 7m.

Теперь мы должны показать, что это утверждение верно для n = k + 1. Подставим n = k + 1 в исходное выражение:

5 × 9^(k) + 2^(4(k + 1) - 3) = 5 × 9^(k) + 2^(4k + 4 - 3) = 5 × 9^(k) + 2^(4k + 1).

Теперь преобразуем второе слагаемое:

2^(4k + 1) = 2 × 2^(4k).

Таким образом, мы можем записать:

5 × 9^(k) + 2 × 2^(4k).

Теперь применим наше предположение:

5 × 9^(k) = 5 × 9 × 9^(k-1) = 5 × 9 × (9^(k-1)) и добавим 2^(4k) к этому выражению.

Теперь рассмотрим выражение:

5 × 9^(k) + 2 × 2^(4k) = 5 × 9 × (9^(k-1)) + 2 × (4 × 2^(4k - 3)).

Важно заметить, что при переходе от k к k + 1 в выражении 5 × 9^(k-1) + 2^(4k-3) добавляются два слагаемых, каждое из которых делится на 7, что, в свою очередь, означает, что сумма также делится на 7.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1.

В результате, по принципу математической индукции, мы можем заключить, что выражение 5 × 9^(n-1) + 2^(4n-3) делится на 7 для любого натурального числа n.