Как можно доказать неравенство ab(b-a) ≤ a³ - b³ при условии, что a ≥ b?

Алгебра 11 класс Неравенства и их свойства доказать неравенство алгебра 11 класс ab(b-a) ≤ a³ - b³ условие a ≥ b неравенства в алгебре Новый

Чтобы доказать неравенство ab(b-a) ≤ a³ - b³ при условии, что a ≥ b, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Перепишем правую часть неравенства:

   Мы знаем, что разность кубов можно разложить по формуле:

   a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

2. Подставим разложение в неравенство:

   Теперь наше неравенство можно записать как:

   ab(b - a) ≤ (a - b)(a² + ab + b²)

   Обратите внимание, что b - a является отрицательным, поскольку a ≥ b. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства:

   -ab(b - a) ≥ -(a - b)(a² + ab + b²)

3. Упрощаем неравенство:

   Теперь мы можем переписать неравенство в следующем виде:

   ab(a - b) ≥ (a - b)(a² + ab + b²)

4. Если a ≠ b, то можем сократить (a - b):

   При условии, что a ≠ b, мы можем разделить обе части на (a - b) (учитывая, что оно отрицательное, мы снова меняем знак):

   ab ≤ -(a² + ab + b²)

   Однако это не дает нам прямого заключения, поэтому вернемся к оригинальному неравенству.

5. Рассмотрим случай a = b:

   Если a = b, то обе части неравенства равны нулю, и неравенство выполняется.

6. Вернемся к неравенству:

   Когда a > b, мы видим, что левая часть ab(b - a) будет отрицательной, а правая часть (a - b)(a² + ab + b²) будет положительной, что также подтверждает неравенство.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что неравенство ab(b-a) ≤ a³ - b³ выполняется для всех a ≥ b.