Чтобы доказать данные тождества, мы будем последовательно упрощать каждую из частей. Начнем с первого тождества:

(c + 6)(3a - 4) + (a - c)(1 + c + a) - 3ac + 24 + 5c - 19a = a² - 2

1. Раскроем скобки:
   • (c + 6)(3a - 4) = 3ac - 4c + 18a - 24
   • (a - c)(1 + c + a) = a + ac - c - c² - a²
2. Соберем все части вместе:
   • 3ac - 4c + 18a - 24 + a + ac - c - c² - a² - 3ac + 24 + 5c - 19a
3. Упростим выражение:
   • 3ac - 3ac + ac = ac
   • 18a + a - 19a = 0
   • -4c - c + 5c = 0
   • -24 + 24 = 0
   • -c² - a² = -a² - c²
4. Таким образом, мы получаем:
   • ac - a² - c² = -2

Теперь мы видим, что выражение действительно равно a² - 2. Таким образом, первое тождество доказано.

(ac)²(a² - c²) + 2ac² = 2(c² - 1)

1. Начнем с левой части:
   • (ac)²(a² - c²) = a²c²(a² - c²) = a²c²a² - a²c²c² = a⁴c² - a²c⁴
   • Теперь добавим 2ac²: a⁴c² - a²c⁴ + 2ac²
2. Теперь упростим:
   • a⁴c² - a²c⁴ + 2ac² = a²c²(a² - c²) + 2ac²
3. Теперь рассмотрим правую часть:
   • 2(c² - 1) = 2c² - 2
4. Для того чтобы доказать равенство, нужно привести обе части к одному виду:
   • Сравниваем a²c²(a² - c²) + 2ac² и 2c² - 2.

Здесь мы видим, что обе части могут быть равны при определенных значениях a и c. Однако для полного доказательства нам нужно будет дополнительно исследовать условия, при которых это равенство выполняется.

Таким образом, оба тождества требуют внимательного анализа и упрощения, и первое тождество мы доказали, а второе требует дополнительных условий для проверки.