Как можно исследовать функцию f(x) = -x³ + 3x² на монотонность и экстремумы?

Алгебра 11 класс Исследование функций на монотонность и экстремумы исследование функции монотонность функции экстремумы функции f(x) = -x³ + 3x² алгебра 11 класс анализ функции производная функции критические точки график функции свойства функции Новый

Чтобы исследовать функцию f(x) = -x³ + 3x² на монотонность и экстремумы, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции:

   Для начала найдем первую производную функции f(x). Она будет равна:

   f'(x) = -3x² + 6x.

2. Найти критические точки:

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим f'(x) = 0:

   -3x² + 6x = 0.

   Вынесем общий множитель:

   -3x(x - 2) = 0.

   Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 2.

3. Определить знаки производной:

   Теперь необходимо исследовать знаки производной f'(x) на интервалах, определяемых критическими точками. Мы рассмотрим три интервала:

   • (-∞, 0)
   • (0, 2)
   • (2, +∞)

   Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала в производную:

   • Для x < 0, например, x = -1: f'(-1) = -3(-1)² + 6(-1) = -3 - 6 = -9 (отрицательно).
   • Для 0 < x < 2, например, x = 1: f'(1) = -3(1)² + 6(1) = -3 + 6 = 3 (положительно).
   • Для x > 2, например, x = 3: f'(3) = -3(3)² + 6(3) = -27 + 18 = -9 (отрицательно).

   Таким образом, мы имеем:

   • На интервале (-∞, 0) функция убывает.
   • На интервале (0, 2) функция возрастает.
   • На интервале (2, +∞) функция убывает.
4. Определить экстремумы:

   Теперь, зная, что функция меняет монотонность в точках x = 0 и x = 2, мы можем сказать, что:

   • В точке x = 0 находится минимум, так как функция убывает до этой точки и возрастает после.
   • В точке x = 2 находится максимум, так как функция возрастает до этой точки и убывает после.
5. Найти значения функции в экстремумах:

   Теперь найдем значения функции в этих точках:

   • f(0) = -(0)³ + 3(0)² = 0.
   • f(2) = -(2)³ + 3(2)² = -8 + 12 = 4.

Таким образом, мы можем сделать вывод:

• Минимум функции f(x) = 0 при x = 0.
• Максимум функции f(x) = 4 при x = 2.