Как можно исследовать функцию y=F(x), которая является первообразной для функции y=(x^3-9x)*корень(x-2), на монотонность и экстремумы?

Алгебра 11 класс Исследование функций на монотонность и экстремумы исследование функции первообразная монотонность экстремумы алгебра 11 класс анализ функции производная график функции свойства функций Новый

Чтобы исследовать функцию y = F(x), которая является первообразной для функции y = (x^3 - 9x) * √(x - 2), необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем исследовать монотонность и экстремумы функции F(x) через её производную F'(x). Давайте рассмотрим процесс более подробно:

1. Найдите производную функции F(x):

Так как F(x) является первообразной для функции y = (x^3 - 9x) * √(x - 2), мы можем записать:

F'(x) = (x^3 - 9x) * √(x - 2).

2. Определите область определения функции F'(x):

• Функция √(x - 2) определена, когда x - 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2.
• Таким образом, область определения производной F'(x) будет x ≥ 2.

3. Исследуйте знак производной F'(x):

Чтобы понять, где функция F(x) возрастает или убывает, нужно определить, где F'(x) > 0 или F'(x) < 0.

• Рассмотрим выражение (x^3 - 9x). Мы можем вынести x:
• x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3).

Теперь у нас есть три корня: x = 0, x = 3 и x = -3. Однако, поскольку мы исследуем область x ≥ 2, нас интересует только x = 3.

4. Постройте таблицу знаков:

Рассмотрим интервалы на оси x:

• Интервал (2, 3):
• F'(x) < 0, так как (x - 3) < 0 и √(x - 2) > 0.
• Интервал (3, ∞):
• F'(x) > 0, так как (x - 3) > 0 и √(x - 2) > 0.

5. Определите критические точки:

Критическая точка возникает в x = 3, где F'(x) меняет знак. Это значит, что x = 3 является кандидатом на экстремум.

6. Определите тип экстремума:

Чтобы определить, является ли это минимумом или максимумом, можно использовать первый производный тест:

• При x < 3 функция F(x) убывает (F'(x) < 0).
• При x > 3 функция F(x) возрастает (F'(x) > 0).

Это указывает на то, что в точке x = 3 находится минимум функции F(x).

7. Подведение итогов:

Таким образом, функция F(x) имеет минимум в точке x = 3 и возрастает на интервале (3, ∞) и убывает на интервале (2, 3).

Теперь вы можете использовать эту информацию для дальнейшего анализа функции F(x) и её графика.