Как можно исследовать функцию y=F(x), которая является первообразной для функции y=(x^3-16x)*√(x-3), на монотонность и экстремумы?

Алгебра 11 класс Исследование функций на монотонность и экстремумы исследование функции первообразная монотонность экстремумы алгебра 11 класс y=f(x) y=(x^3-16x)*√(x-3) Новый

Чтобы исследовать функцию y=F(x), которая является первообразной для функции y=(x^3-16x)*√(x-3), на монотонность и экстремумы, нам необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции F(x)

Поскольку F(x) является первообразной для функции (x^3 - 16x) * √(x - 3), мы можем записать:

F'(x) = (x^3 - 16x) * √(x - 3).

Шаг 2: Определить область определения функции F'(x)

Функция F'(x) будет определена там, где оба множителя (x^3 - 16x) и √(x - 3) определены. Рассмотрим каждый из них:

• √(x - 3) определена при x ≥ 3;
• x^3 - 16x — это многочлен и определен для всех x.

Таким образом, область определения F'(x) — это x ≥ 3.

Шаг 3: Найти критические точки

Критические точки функции F(x) находятся там, где F'(x) = 0 или F'(x) не существует. Рассмотрим уравнение:

(x^3 - 16x) * √(x - 3) = 0.

Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

• √(x - 3) = 0 → x - 3 = 0 → x = 3;
• x^3 - 16x = 0 → x(x^2 - 16) = 0 → x = 0 или x^2 - 16 = 0 → x = ±4.

Однако, учитывая область определения, нас интересует только x = 3 и x = 4.

Шаг 4: Исследовать знак производной F'(x)

Теперь мы исследуем знак производной на интервалах, определенных критическими точками. У нас есть следующие интервалы:

• (3, 4);
• (4, +∞).

Выберем тестовые точки в каждом интервале:

• Для интервала (3, 4), например, x = 3.5:

F'(3.5) = (3.5^3 - 16*3.5) * √(3.5 - 3) = (42.875 - 56) * √0.5 < 0.

• Для интервала (4, +∞), например, x = 5:

F'(5) = (5^3 - 16*5) * √(5 - 3) = (125 - 80) * √2 > 0.

Шаг 5: Определить монотонность и экстремумы

На основе знака производной мы можем сделать выводы о монотонности:

• На интервале (3, 4) функция F(x) убывает;
• На интервале (4, +∞) функция F(x) возрастает.

Таким образом, в точке x = 4 у нас есть минимум функции F(x).

Вывод:

Функция F(x) убывает на интервале (3, 4) и возрастает на интервале (4, +∞). Минимум функции F(x) достигается в точке x = 4.