Как можно найти решение для следующей системы уравнений:

1. x² - y² = -21 и x + y = -3;
2. x² + 4y² = 34 и x + y = 7;
3. x² + y² = 74 и x - y = 2;
4. x - 2xy - y² = 1 и x + y = 2?

Алгебра 11 класс Системы уравнений решение системы уравнений алгебра 11 класс уравнения с двумя переменными методы решения уравнений Квадратные уравнения система уравнений алгебраические методы Новый

Для решения каждой из представленных систем уравнений мы будем использовать метод подстановки и метод сложения. Давайте рассмотрим каждую систему по отдельности.

1. Система уравнений:

• x² - y² = -21
• x + y = -3

Сначала выразим y через x из второго уравнения:

y = -3 - x

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

x² - (-3 - x)² = -21

Раскроем скобки:

x² - (9 + 6x + x²) = -21

Упрощаем:

-6x - 9 = -21

Добавим 9 к обеим сторонам:

-6x = -12

Разделим на -6:

x = 2

Теперь подставим x обратно в уравнение для y:

y = -3 - 2 = -5

Таким образом, решение первой системы: x = 2, y = -5.

2. Система уравнений:

• x² + 4y² = 34
• x + y = 7

Выразим y через x из второго уравнения:

y = 7 - x

Подставим это в первое уравнение:

x² + 4(7 - x)² = 34

Раскроем скобки:

x² + 4(49 - 14x + x²) = 34

x² + 196 - 56x + 4x² = 34

Упрощаем:

5x² - 56x + 162 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-56)² - 4 * 5 * 162 = 3136 - 3240 = -104

Так как дискриминант отрицательный, решения нет.

3. Система уравнений:

• x² + y² = 74
• x - y = 2

Выразим y через x из второго уравнения:

y = x - 2

Подставим это в первое уравнение:

x² + (x - 2)² = 74

x² + (x² - 4x + 4) = 74

2x² - 4x + 4 = 74

2x² - 4x - 70 = 0

Упрощаем:

x² - 2x - 35 = 0

Решаем это уравнение:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-35) = 4 + 140 = 144

x = (2 ± 12) / 2

x1 = 7, x2 = -5

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 7: y = 7 - 2 = 5

Для x = -5: y = -5 - 2 = -7

Таким образом, решения третьей системы: (7, 5) и (-5, -7).

4. Система уравнений:

• x - 2xy - y² = 1
• x + y = 2

Выразим y через x из второго уравнения:

y = 2 - x

Подставим это в первое уравнение:

x - 2x(2 - x) - (2 - x)² = 1

x - 4x + 2x² - (4 - 4x + x²) = 1

x - 4x + 2x² - 4 + 4x - x² = 1

x² - 4 = 1

x² = 5

x = ±√5

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = √5: y = 2 - √5

Для x = -√5: y = 2 + √5

Таким образом, решения четвертой системы: (√5, 2 - √5) и (-√5, 2 + √5).

Итак, мы нашли решения для всех предложенных систем уравнений.