Как можно обосновать, что 5 в степени 99 плюс 1 кратно 126?

Алгебра 11 класс Делимость и остатки алгебра 11 класс обоснование 5 в степени 99 кратность 126 математическое доказательство свойства степеней делимость чисел Новый

Чтобы обосновать, что 5 в степени 99 плюс 1 кратно 126, необходимо сначала разложить число 126 на простые множители. Это позволит нам использовать теорему о делимости и проверить кратность числа 126 для выражения 5^99 + 1.

Шаг 1: Разложение 126 на простые множители

• 126 = 2 * 3^2 * 7

Теперь нам нужно показать, что 5^99 + 1 кратно каждому из простых множителей: 2, 9 (3^2) и 7.

Шаг 2: Проверка кратности 2

• 5^99 является нечетным числом, так как 5 – нечетное число.
• Сумма нечетного числа (5^99) и четного числа (1) всегда четная.
• Таким образом, 5^99 + 1 кратно 2.

Шаг 3: Проверка кратности 9

• Сначала найдем 5^99 по модулю 9.
• Согласно малой теореме Ферма, если p – простое число, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p) для любого a, не кратного p.
• Здесь p = 9, и 5^6 ≡ 1 (mod 9), так как 6 = 9 - 3.
• Теперь найдем 99 по модулю 6: 99 mod 6 = 3.
• Следовательно, 5^99 ≡ 5^3 (mod 9).
• Теперь вычислим 5^3: 5^3 = 125.
• 125 mod 9 = 8.
• Таким образом, 5^99 ≡ 8 (mod 9).
• Теперь добавим 1: 5^99 + 1 ≡ 8 + 1 ≡ 0 (mod 9).
• Это означает, что 5^99 + 1 кратно 9.

Шаг 4: Проверка кратности 7

• Теперь найдем 5^99 по модулю 7.
• Согласно малой теореме Ферма, 5^6 ≡ 1 (mod 7), так как 6 = 7 - 1.
• Теперь найдем 99 по модулю 6: 99 mod 6 = 3.
• Следовательно, 5^99 ≡ 5^3 (mod 7).
• Теперь вычислим 5^3: 5^3 = 125.
• 125 mod 7 = 6.
• Таким образом, 5^99 ≡ 6 (mod 7).
• Теперь добавим 1: 5^99 + 1 ≡ 6 + 1 ≡ 0 (mod 7).
• Это означает, что 5^99 + 1 кратно 7.

Шаг 5: Заключение

• Мы показали, что 5^99 + 1 кратно 2, 9 и 7.
• Поскольку 2, 9 и 7 являются простыми множителями числа 126, можно заключить, что 5^99 + 1 кратно 126.

Таким образом, 5^99 + 1 действительно кратно 126.