Какое наименьшее натуральное число a (где a > 1) существует, такое что при делении его на 2017 и на 2018 в остатке получается 1? Какой остаток будет при делении числа a на 5?
а) 1 б) 2 с) 0 д) 3

Ребята, дайте, пожалуйста, хорошее и простое объяснение!

Алгебра 11 класс Делимость и остатки Наименьшее натуральное число деление на 2017 деление на 2018 остаток при делении число a остаток на 5 объяснение задачи алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти наименьшее натуральное число a (где a > 1), которое при делении на 2017 и на 2018 дает остаток 1, нам нужно решить следующую систему остаточных уравнений:

• a ≡ 1 (mod 2017)
• a ≡ 1 (mod 2018)

Это означает, что число a должно быть на 1 больше кратного 2017 и кратного 2018. Мы можем записать это как:

• a = 2017k + 1 для некоторого целого k
• a = 2018m + 1 для некоторого целого m

Теперь, поскольку оба условия равны 1, мы можем приравнять их:

2017k + 1 = 2018m + 1

Убираем 1 из обеих сторон:

2017k = 2018m

Это уравнение можно переписать как:

2017k - 2018m = 0

Теперь мы видим, что 2017k = 2018m, и мы можем выразить k через m:

k = (2018/2017)m

Так как k и m должны быть целыми числами, это означает, что m должно быть кратно 2017. Пусть m = 2017n для некоторого целого n. Подставляем это в уравнение:

k = (2018/2017)(2017n) = 2018n

Теперь подставим k в одно из наших уравнений для a:

a = 2017k + 1 = 2017(2018n) + 1 = 2017 * 2018n + 1

Для нахождения наименьшего a, выберем n = 1:

a = 2017 * 2018 * 1 + 1 = 2017 * 2018 + 1

Теперь нам нужно вычислить 2017 * 2018:

2017 * 2018 = 4066356

Следовательно:

a = 4066356 + 1 = 4066357

Теперь, чтобы найти остаток при делении a на 5, нам нужно вычислить:

4066357 mod 5.

Сначала найдем 4066356 mod 5:

4066356 делим на 5, получаем 4066356 / 5 = 813271.2, что дает целую часть 813271. Умножаем 5 на 813271:

5 * 813271 = 4066355.

Теперь находим остаток:

4066356 - 4066355 = 1.

Теперь добавляем 1, который мы добавили к 4066356, чтобы получить a:

1 + 1 = 2.

Таким образом, остаток при делении числа a на 5 будет равен 2.

Ответ: б) 2