Как можно определить наибольшее и наименьшее значения функции f = x²y(4-x-y) в области, ограниченной прямыми x = 0, y = 0 и x + y = 6?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций нескольких переменных Наибольшее значение функции наименьшее значение функции область определения алгебра 11 класс функции двух переменных Новый

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f = x²y(4 - x - y) в заданной области, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение области определения функции

Область ограничена следующими прямыми:

• x = 0 (ось Y),
• y = 0 (ось X),
• x + y = 6 (прямая, проходящая через точки (6, 0) и (0, 6)).

Эти линии образуют треугольник с вершинами в точках (0, 0), (6, 0) и (0, 6).

Шаг 2: Нахождение критических точек функции

Для нахождения критических точек, сначала найдем частные производные функции f по x и y, и приравняем их к нулю:

1. Находим частную производную f по x:

∂f/∂x = 2xy(4 - x - y) - x²y = y(2(4 - x - y) - xy).

2. Находим частную производную f по y:

∂f/∂y = x²(4 - x - y) - x²y = x²(4 - x - 2y).

Теперь приравняем обе производные к нулю:

• y(2(4 - x - y) - xy) = 0,
• x²(4 - x - 2y) = 0.

Из первого уравнения получаем:

• y = 0,
• 2(4 - x - y) - xy = 0.

Из второго уравнения получаем:

• x = 0,
• 4 - x - 2y = 0.

Шаг 3: Решение системы уравнений

Решаем систему уравнений:

• y = 0 дает точки (0, 0) и (6, 0),
• 4 - x - 2y = 0 дает y = (4 - x)/2.

Подставим y в уравнение x + y = 6:

x + (4 - x)/2 = 6.

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

2x + 4 - x = 12.

x = 8, что выходит за пределы области. Поэтому проверяем границы.

Шаг 4: Проверка значений на границах

Теперь проверим значения функции на границах области:

• На границе x = 0: f(0, y) = 0 для y от 0 до 6.
• На границе y = 0: f(x, 0) = 0 для x от 0 до 6.
• На границе x + y = 6: подставляем y = 6 - x, получаем f(x, 6 - x) = x²(6 - x)(4 - x - (6 - x)) = x²(6 - x)(x - 2).

Теперь нужно найти максимум и минимум функции f(x, 6 - x) на отрезке [0, 6]. Для этого находим производную и приравниваем к нулю:

f'(x) = 0.

Шаг 5: Сравнение значений

Находим значения функции в критических точках и на границах:

• f(0, 0) = 0,
• f(0, 6) = 0,
• f(6, 0) = 0.

Теперь подставим найденные значения x в f(x, 6 - x) и определим максимум и минимум.

Заключение

Находим наибольшее и наименьшее значения функции на границах и в критических точках. Значения, полученные на границах, и в критических точках дадут ответ на задачу.