Каковы должны быть длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда с периметром 8 м и высотой 3 м, чтобы объем параллелепипеда был максимальным?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций нескольких переменных алгебра 11 класс прямоугольный параллелепипед длины сторон периметр объём максимизация высота задачи по алгебре геометрия оптимизация математические задачи Новый

Давай разберемся, как найти максимальный объем прямоугольного параллелепипеда с заданными условиями! Это действительно захватывающее задание, и я уверен, что мы справимся!

Итак, у нас есть:

• Периметр основания: 8 м
• Высота: 3 м

Обозначим стороны основания как a и b. Периметр основания можно выразить так:

2(a + b) = 8

Отсюда следует:

a + b = 4

Теперь объем прямоугольного параллелепипеда можно выразить как:

V = a b h

Подставляем высоту:

V = a b 3

Теперь нам нужно выразить b через a, используя уравнение a + b = 4:

b = 4 - a

Теперь подставим это в формулу объема:

V = a (4 - a) 3

Раскрываем скобки:

V = 12a - 3a^2

Теперь, чтобы найти максимальный объем, нам нужно найти производную и приравнять её к нулю:

V' = 12 - 6a

Приравниваем к нулю:

12 - 6a = 0

Решая это уравнение, получаем:

a = 2

Теперь подставляем значение a обратно, чтобы найти b:

b = 4 - 2 = 2

Таким образом, длины сторон основания, при которых объем прямоугольного параллелепипеда максимален, равны:

• a = 2 м
• b = 2 м

Итак, мы выяснили, что максимальный объем будет достигнут, когда основание будет квадратным со сторонами по 2 метра! Это просто невероятно!

Давай двигаться дальше и использовать эти знания на практике! Успехов в учебе!