Как определить максимальные и минимальные значения функции f = x²y(4-x-y) в области, ограниченной прямыми x = 0, y = 0 и x + y = 6?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций нескольких переменных максимальные значения функции минимальные значения функции область определения функции алгебра 11 класс задачи на оптимизацию функции двух переменных графики функций методы нахождения экстремумов Новый

Для определения максимальных и минимальных значений функции f = x²y(4 - x - y) в заданной области, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение области

Сначала необходимо понять, какую область мы рассматриваем. Данная область ограничена следующими прямыми:

• x = 0 (ось Y)
• y = 0 (ось X)
• x + y = 6 (прямая, проходящая через точки (6, 0) и (0, 6))

Таким образом, область является треугольником с вершинами в точках (0, 0), (6, 0) и (0, 6).

Шаг 2: Нахождение критических точек функции

Теперь найдем критические точки функции f = x²y(4 - x - y). Для этого нужно вычислить частные производные функции по x и y и приравнять их к нулю:

1. Найдем частную производную f по x:
2. Найдем частную производную f по y:

После нахождения производных, решаем систему уравнений, чтобы найти критические точки.

Шаг 3: Проверка границ области

После нахождения критических точек, необходимо проверить значения функции на границах области:

• На отрезке x = 0: подставляем y в функцию f = 0.
• На отрезке y = 0: подставляем x в функцию f = 0.
• На отрезке x + y = 6: выразим y через x (y = 6 - x) и подставим в функцию f, затем найдем максимум и минимум на этом отрезке.

Шаг 4: Сравнение значений

Теперь у нас есть значения функции f в критических точках и на границах области. Сравниваем все найденные значения:

• Записываем значения функции для критических точек.
• Записываем значения функции для границ области.

Максимальное значение будет наибольшим из всех найденных значений, а минимальное – наименьшим.

Шаг 5: Итог

Таким образом, после выполнения всех шагов, мы сможем определить максимальные и минимальные значения функции f в заданной области. Не забудьте также проанализировать, где именно эти экстремумы достигаются (внутри области или на границах).