Для определения максимальных и минимальных значений функции f = x²y(4 - x - y) в заданной области, следуем следующим шагам:

Сначала необходимо понять, какую область мы рассматриваем. Данная область ограничена следующими прямыми:

• x = 0 (ось Y)
• y = 0 (ось X)
• x + y = 6 (прямая, проходящая через точки (6, 0) и (0, 6))

Таким образом, область является треугольником с вершинами в точках (0, 0), (6, 0) и (0, 6).

Теперь найдем критические точки функции f = x²y(4 - x - y). Для этого нужно вычислить частные производные функции по x и y и приравнять их к нулю:

1. Найдем частную производную f по x:
2. Найдем частную производную f по y:

После нахождения производных, решаем систему уравнений, чтобы найти критические точки.

После нахождения критических точек, необходимо проверить значения функции на границах области:

• На отрезке x = 0: подставляем y в функцию f = 0.
• На отрезке y = 0: подставляем x в функцию f = 0.
• На отрезке x + y = 6: выразим y через x (y = 6 - x) и подставим в функцию f, затем найдем максимум и минимум на этом отрезке.

Теперь у нас есть значения функции f в критических точках и на границах области. Сравниваем все найденные значения:

• Записываем значения функции для критических точек.
• Записываем значения функции для границ области.

Максимальное значение будет наибольшим из всех найденных значений, а минимальное – наименьшим.

Таким образом, после выполнения всех шагов, мы сможем определить максимальные и минимальные значения функции f в заданной области. Не забудьте также проанализировать, где именно эти экстремумы достигаются (внутри области или на границах).