Как можно определить обратную функцию для следующих степенных функций, а также выяснить их область определения и множество значений: а) y = 4√(x + 2); b) y = 2x + 4?

Алгебра 11 класс Обратные функции обратная функция степенные функции область определения множество значений алгебра 11 класс функции и их свойства нахождение обратной функции Новый

Чтобы определить обратную функцию для заданных степенных функций, а также выяснить их область определения и множество значений, мы будем следовать определенным шагам. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

а) Функция y = 4√(x + 2)

1. Область определения:
   • Чтобы определить область определения функции, необходимо выяснить, при каких значениях x выражение под корнем неотрицательно.
   • Решим неравенство: x + 2 ≥ 0. Это приводит к x ≥ -2.
   • Таким образом, область определения функции: x ∈ [-2; +∞).
2. Множество значений:
   • Поскольку функция является корнем, то при x = -2 мы получаем y = 0, а при увеличении x значение y будет увеличиваться.
   • Таким образом, множество значений функции: y ∈ [0; +∞).
3. Обратная функция:
   • Чтобы найти обратную функцию, мы сначала выразим x через y:
   • y = 4√(x + 2) ⟹ y/4 = √(x + 2).
   • Теперь возведем обе стороны в квадрат: (y/4)² = x + 2.
   • Отсюда x = (y/4)² - 2.
   • Таким образом, обратная функция: x = (y²/16) - 2.
   • Поскольку мы обозначили y как функцию от x, то обратная функция будет: y = (x + 2)²/16.

б) Функция y = 2x + 4

1. Область определения:
   • Линейная функция определена для всех действительных чисел, следовательно, область определения: x ∈ (-∞; +∞).
2. Множество значений:
   • Линейная функция также может принимать любые значения, поэтому множество значений: y ∈ (-∞; +∞).
3. Обратная функция:
   • Начнем с того, чтобы выразить x через y:
   • y = 2x + 4 ⟹ y - 4 = 2x.
   • Теперь делим обе стороны на 2: (y - 4)/2 = x.
   • Таким образом, обратная функция: x = (y - 4)/2.
   • Поскольку мы обозначили y как функцию от x, то обратная функция будет: y = 2x + 4 ⟹ y = 2x + 4.

Итак, мы определили обратные функции для обеих заданных функций и выяснили их области определения и множества значений.