Как можно определить значения a и b, если у нас есть уравнение (5x + 11)/(x ^ 2 + 3x - 10) = a/(x + 5) + (b/(x - 2))?

Алгебра 11 класс Рациональные дроби алгебра 11 класс уравнение значения a и b дробные уравнения решение уравнений Новый

Чтобы определить значения a и b в уравнении:

(5x + 11)/(x ^ 2 + 3x - 10) = a/(x + 5) + (b/(x - 2)),

нам нужно привести обе стороны уравнения к общему знаменателю и затем сравнить коэффициенты.

Шаг 1: Приведение левой части к общему знаменателю

Сначала упростим левую часть уравнения. Знаменатель (x ^ 2 + 3x - 10) можно разложить на множители:

x ^ 2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2).

Теперь мы можем переписать левую часть уравнения:

(5x + 11)/((x + 5)(x - 2)).

Шаг 2: Приведение правой части к общему знаменателю

Теперь у правой части уравнения общий знаменатель (x + 5)(x - 2). Мы можем записать правую часть как:

a/(x + 5) + b/(x - 2) = (a(x - 2) + b(x + 5))/((x + 5)(x - 2)).

Шаг 3: Уравниваем числители

Теперь у нас есть:

(5x + 11)/((x + 5)(x - 2)) = (a(x - 2) + b(x + 5))/((x + 5)(x - 2)).

Так как знаменатели равны, мы можем приравнять числители:

5x + 11 = a(x - 2) + b(x + 5).

Шаг 4: Раскрываем скобки

Раскроем скобки в правой части:

a(x - 2) + b(x + 5) = ax - 2a + bx + 5b = (a + b)x + (5b - 2a).

Шаг 5: Сравниваем коэффициенты

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при x и свободные члены:

• Коэффициент при x: a + b = 5.
• Свободный член: 5b - 2a = 11.

Шаг 6: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 5.
2. 5b - 2a = 11.

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим b:

b = 5 - a.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

5(5 - a) - 2a = 11.

Раскроем скобки:

25 - 5a - 2a = 11.

Соберем все a в одну сторону:

25 - 11 = 7a.

14 = 7a.

Следовательно, a = 2.

Теперь подставим a обратно в первое уравнение, чтобы найти b:

2 + b = 5.

Таким образом, b = 3.

Ответ: a = 2, b = 3.