Как можно проанализировать функцию: x^3 - 3x^2 и построить её график? Укажите область определения, область значений, чётность, точки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности и экстремумы функции.

Алгебра 11 класс Исследование функции анализ функции график функции область определения область значений четность функции точки пересечения знакопостоянство монотонность экстремумы функции Новый

Для анализа функции f(x) = x^3 - 3x^2, начнем с определения ее основных характеристик.

1. Область определения:

Функция f(x) = x^3 - 3x^2 является многочленом, и область определения многочленов - это все действительные числа. Таким образом, область определения:

D(f) = R.

2. Область значений:

Для нахождения области значений функции, нам нужно исследовать поведение функции на всей области определения, включая экстремумы. Мы найдем производную и определим критические точки.

3. Чётность:

Функция f(x) = x^3 - 3x^2 является нечётной, так как f(-x) = -f(x). Это можно проверить, подставив -x:

• f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 = -x^3 - 3x^2 = - (x^3 - 3x^2) = -f(x).

4. Точки пересечения с осями координат:

Для нахождения точек пересечения с осью Y, подставим x = 0:

• f(0) = 0^3 - 3*0^2 = 0. Таким образом, точка пересечения с осью Y: (0, 0).

Для нахождения точек пересечения с осью X, решим уравнение f(x) = 0:

• x^3 - 3x^2 = 0
• x^2(x - 3) = 0
• Отсюда x = 0 или x = 3. Таким образом, точки пересечения с осью X: (0, 0) и (3, 0).

5. Промежутки знакопостоянства:

Для нахождения промежутков знакопостоянства найдем производную:

• f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2).

Теперь находим критические точки, приравняв производную к нулю:

• 3x(x - 2) = 0
• x = 0 или x = 2.

Теперь проверим знак функции на промежутках (-∞, 0), (0, 2) и (2, +∞):

• На промежутке (-∞, 0): f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 = -1 - 3 = -4 (отрицательно).
• На промежутке (0, 2): f(1) = 1^3 - 3*1^2 = 1 - 3 = -2 (отрицательно).
• На промежутке (2, +∞): f(3) = 3^3 - 3*3^2 = 27 - 27 = 0 (положительно).

Таким образом, знаки функции:

• (-∞, 0): отрицательно
• (0, 2): отрицательно
• (2, +∞): положительно

6. Промежутки монотонности:

Исходя из знаков производной, мы можем определить монотонность:

• На промежутке (-∞, 0): функция убывает.
• На промежутке (0, 2): функция убывает.
• На промежутке (2, +∞): функция возрастает.

7. Экстремумы функции:

Мы нашли критические точки x = 0 и x = 2. Теперь определим, являются ли они минимумом или максимумом:

• f(0) = 0 (максимум, так как функция меняет знак с отрицательного на положительный).
• f(2) = -6 (минимум, так как функция меняет знак с положительного на отрицательный).

Итак, мы получили следующую информацию:

• Область определения: D(f) = R.
• Область значений: f(x) принимает все значения от -6 до +∞.
• Чётность: нечётная.
• Точки пересечения с осями: (0, 0) и (3, 0).
• Промежутки знакопостоянства: (-∞, 0) и (0, 2) отрицательно; (2, +∞) положительно.
• Промежутки монотонности: (-∞, 0) - убывает; (0, 2) - убывает; (2, +∞) - возрастает.
• Экстремумы: максимум в (0, 0) и минимум в (2, -6).

Теперь, имея всю эту информацию, можно построить график функции.