Как определить область допустимых значений, вычислить производную, решить уравнение и отложить значения на числовой прямой, а также установить промежутки монотоности для функции:

f(x) = x^2 + 5/2 - x

Алгебра 11 класс Исследование функции область допустимых значений вычислить производную решить уравнение отложить значения промежутки монотоности функция f(x) Новый

Давайте разберем вашу задачу по шагам: определим область допустимых значений, вычислим производную, решим уравнение и установим промежутки монотонности для функции f(x) = x^2 - x + 5/2.

1. Определение области допустимых значений

Функция f(x) = x^2 - x + 5/2 является многочленом второй степени. Многочлены определены для всех действительных чисел. Поэтому область допустимых значений для данной функции:

• Область допустимых значений: x ∈ R (все действительные числа).

2. Вычисление производной

Теперь найдем производную функции f(x). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:

• f'(x) = 2x - 1.

3. Решение уравнения f'(x) = 0

Теперь решим уравнение, приравняв производную к нулю:

• 2x - 1 = 0
• 2x = 1
• x = 1/2.

Таким образом, критическая точка x = 1/2.

4. Установление промежутков монотонности

Теперь определим, на каких промежутках функция возрастает или убывает. Для этого исследуем знак производной f'(x):

• Выберем тестовые точки:
• Для x < 1/2, например, x = 0: f'(0) = 2(0) - 1 = -1 (отрицательно, значит функция убывает).
• Для x > 1/2, например, x = 1: f'(1) = 2(1) - 1 = 1 (положительно, значит функция возрастает).

Таким образом, мы можем сделать вывод:

• Функция убывает на промежутке: (-∞, 1/2).
• Функция возрастает на промежутке: (1/2, +∞).

5. Отложение значений на числовой прямой

На числовой прямой мы можем отметить критическую точку x = 1/2. На промежутке (-∞, 1/2) функция убывает, а на промежутке (1/2, +∞) — возрастает. Это можно изобразить следующим образом:

• На числовой прямой отметим точку 1/2.
• На отрезке (-∞, 1/2) стрелка вниз (функция убывает).
• На отрезке (1/2, +∞) стрелка вверх (функция возрастает).

Таким образом, мы выполнили все необходимые шаги: определили область допустимых значений, вычислили производную, решили уравнение, установили промежутки монотонности и отложили значения на числовой прямой.