Как можно провести исследование функции f(x)=2x⁴-4x²+1?

Алгебра 11 класс Исследование функции исследование функции алгебра 11 класс f(x)=2x⁴-4x²+1 график функции анализ функции корни уравнения экстремумы функции производная функции поведение функции задачи по алгебре Новый

Для проведения исследования функции f(x) = 2x⁴ - 4x² + 1, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку:

1. Определение области определения:

   Функция f(x) является многочленом, а значит, она определена для всех значений x. Таким образом, область определения: D(f) = R.

2. Нахождение производной:

   Для изучения поведения функции, найдем её первую производную f'(x):

   • f'(x) = d/dx(2x⁴ - 4x² + 1) = 8x³ - 8x.
3. Поиск критических точек:

   Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

   • 8x³ - 8x = 0.
   • 8x(x² - 1) = 0.
   • Это уравнение имеет корни: x = 0, x = 1, x = -1.
4. Определение знаков производной:

   Теперь определим, где функция возрастает, а где убывает. Для этого рассмотрим знаки производной на интервалах:

   • Интервалы: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, ∞).
   • Выбираем тестовые точки: x = -2, -0.5, 0.5, 2.
   • f'(-2) = 8(-2)³ - 8(-2) = отрицательное; функция убывает.
   • f'(-0.5) = 8(-0.5)³ - 8(-0.5) = положительное; функция возрастает.
   • f'(0.5) = 8(0.5)³ - 8(0.5) = положительное; функция возрастает.
   • f'(2) = 8(2)³ - 8(2) = положительное; функция возрастает.

   Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, -1) и возрастает на интервалах (-1, 0), (0, 1) и (1, ∞).

5. Нахождение значений функции в критических точках:

   Теперь найдем значения функции в найденных критических точках:

   • f(-1) = 2(-1)⁴ - 4(-1)² + 1 = 2 - 4 + 1 = -1.
   • f(0) = 2(0)⁴ - 4(0)² + 1 = 1.
   • f(1) = 2(1)⁴ - 4(1)² + 1 = 2 - 4 + 1 = -1.
6. Анализ поведения функции на границах:

   При x → ±∞, f(x) → +∞, так как старший член 2x⁴ стремится к бесконечности.

7. Построение графика функции:

   Теперь, имея информацию о критических точках и знаках производной, можно построить график функции:

   • Критическая точка x = -1, f(-1) = -1 (локальный минимум).
   • Критическая точка x = 0, f(0) = 1 (локальный максимум).
   • Критическая точка x = 1, f(1) = -1 (локальный минимум).

   График будет иметь два локальных минимума и один локальный максимум.

Таким образом, мы провели полное исследование функции f(x) = 2x⁴ - 4x² + 1, определив её область определения, критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также значения в критических точках и поведение на границах.