Как можно решить систему уравнений: 2x + y = 7 и x² - y = 1?

Алгебра 11 класс Системы уравнений решение системы уравнений алгебра 11 класс 2x + y = 7 x² - y = 1 методы решения уравнений

Для решения системы уравнений:

1. 2x + y = 7
2. x² - y = 1

Мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае, давайте воспользуемся методом подстановки.

Шаг 1: Выразим y через x из первого уравнения.

Из уравнения 2x + y = 7 выразим y:

y = 7 - 2x

Шаг 2: Подставим выражение для y во второе уравнение.

Теперь подставим найденное значение y во второе уравнение x² - y = 1:

x² - (7 - 2x) = 1

Шаг 3: Упростим уравнение.

Раскроем скобки:

x² - 7 + 2x = 1

Переносим 1 на левую сторону:

x² + 2x - 7 - 1 = 0

x² + 2x - 8 = 0

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Теперь мы можем решить квадратное уравнение x² + 2x - 8 = 0. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 2, c = -8.

Сначала найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.

Теперь подставим значения в формулу:

x = (-2 ± √36) / 2 * 1.

Корень из 36 равен 6, поэтому:

x = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2

и

x = (-2 - 6) / 2 = -8 / 2 = -4.

Шаг 5: Найдем соответствующие значения y.

Теперь подставим найденные значения x обратно в уравнение y = 7 - 2x:

• Для x = 2:

y = 7 - 2 * 2 = 7 - 4 = 3.

• Для x = -4:

y = 7 - 2 * (-4) = 7 + 8 = 15.

Шаг 6: Запишем решения.

Таким образом, у нас есть два решения системы уравнений:

• (2, 3)
• (-4, 15)

Это и есть все решения данной системы уравнений.

Чтобы решить систему уравнений:

• 2x + y = 7
• x² - y = 1

можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения. В данном случае мы воспользуемся методом подстановки, так как это удобнее для данной системы.

1. Из первого уравнения выразим y:

Из уравнения 2x + y = 7 можно выразить y:

y = 7 - 2x

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

Теперь подставим y в уравнение x² - y = 1:

x² - (7 - 2x) = 1

3. Упростим полученное уравнение:

Раскроем скобки:

x² - 7 + 2x = 1

Теперь приведем все к одной стороне:

x² + 2x - 8 = 0

4. Решим полученное квадратное уравнение:

Теперь мы можем решить квадратное уравнение x² + 2x - 8 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = 2, c = -8.

D = 2² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.

Так как D больше нуля, у уравнения два различных корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) и x2 = (-b - √D) / (2a).

Подставим значения:

x1 = (-2 + √36) / 2 = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2.

x2 = (-2 - √36) / 2 = (-2 - 6) / 2 = -8 / 2 = -4.

5. Теперь найдем соответствующие значения y:

Подставим найденные значения x в выражение для y:

• Для x1 = 2:

y = 7 - 2 * 2 = 7 - 4 = 3.

• Для x2 = -4:

y = 7 - 2 * (-4) = 7 + 8 = 15.

6. Запишем найденные решения:

Таким образом, мы получили два решения системы уравнений:

• (2, 3)
• (-4, 15)

Итак, система уравнений имеет два решения: (2, 3) и (-4, 15).