Как можно решить систему уравнений: Х^2 + У^2 = 41 и ХУ = 20? Помогите с решением!)

Алгебра 11 класс Системы уравнений система уравнений решить систему уравнения Х^2 + У^2 ХУ = 20 алгебра 11 класс решение уравнений Квадратные уравнения метод подстановки метод исключения графический метод Новый

Для решения системы уравнений:

• X^2 + Y^2 = 41 (1)
• XY = 20 (2)

Мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае, давайте воспользуемся методом подстановки. Сначала выразим одну переменную через другую из уравнения (2).

1. Из уравнения (2) выразим Y:
Y = 20 / X

Теперь подставим это значение Y в уравнение (1):

1. Подставляем Y в уравнение (1):
X^2 + (20 / X)^2 = 41

Упростим это уравнение:

1. Умножим обе стороны на X^2, чтобы избавиться от дроби:
X^4 + 400 = 41X^2

Переносим все члены в одну сторону:

X^4 - 41X^2 + 400 = 0

Теперь это уравнение является квадратным относительно Z = X^2. Заметим, что:

1. Обозначим Z = X^2, тогда уравнение становится:
Z^2 - 41Z + 400 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

1. Находим D = b^2 - 4ac:
D = (-41)^2 - 4 * 1 * 400 = 1681 - 1600 = 81

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:

Z1 = (41 + sqrt(81)) / 2 = (41 + 9) / 2 = 25 Z2 = (41 - sqrt(81)) / 2 = (41 - 9) / 2 = 16

Теперь возвращаемся к переменной X:

1. Так как Z = X^2, то:
X^2 = 25 => X = ±5 X^2 = 16 => X = ±4

Теперь найдем соответствующие значения Y для каждого X:

1. Если X = 5, то:
Y = 20 / 5 = 4
2. Если X = -5, то:
Y = 20 / (-5) = -4
3. Если X = 4, то:
Y = 20 / 4 = 5
4. Если X = -4, то:
Y = 20 / (-4) = -5

Таким образом, мы получили четыре пары решений:

• (5, 4)
• (-5, -4)
• (4, 5)
• (-4, -5)

Эти пары (X, Y) являются решениями данной системы уравнений.