Для решения данной системы уравнений:

• Первое уравнение: x³ + y³ = 7
• Второе уравнение: xy(x + y) = -2

Мы можем использовать некоторые алгебраические преобразования и свойства кубов.

Шаг 1: Используем формулы для суммы кубов.

Сумма кубов может быть представлена в виде:

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²).

Обозначим:

• S: x + y
• P: xy

Тогда первое уравнение можно записать как:

S(S² - 3P) = 7.

Шаг 2: Перепишем второе уравнение.

Второе уравнение xy(x + y) = -2 можно записать как:

P * S = -2.

Теперь у нас есть две новые зависимости:

• S(S² - 3P) = 7
• PS = -2.

Шаг 3: Выразим P через S из второго уравнения.

Из второго уравнения получаем:

P = -2/S.

Шаг 4: Подставим P в первое уравнение.

Теперь подставим P в первое уравнение:

S(S² - 3(-2/S)) = 7.

Это превращается в:

S(S² + 6/S) = 7.

Умножим обе стороны на S, чтобы избавиться от дроби:

S³ + 6 = 7S.

Перепишем уравнение:

S³ - 7S + 6 = 0.

Шаг 5: Решим кубическое уравнение.

Теперь нам нужно решить уравнение S³ - 7S + 6 = 0. Мы можем попробовать найти корни, подставив некоторые значения:

• Для S = 1: 1³ - 7*1 + 6 = 0. (S = 1 является корнем)

Теперь мы можем разложить кубическое уравнение на множители:

(S - 1)(S² + S - 6) = 0.

Шаг 6: Находим остальные корни.

Теперь решим квадратное уравнение S² + S - 6 = 0 с помощью формулы дискриминанта:

D = 1² - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25.

Корни будут:

• S₁ = (-1 + √25)/2 = 2
• S₂ = (-1 - √25)/2 = -3.

Таким образом, у нас есть три значения для S:

• S₁ = 1
• S₂ = 2
• S₃ = -3

Шаг 7: Находим P для каждого S.

Теперь подставим каждое значение S в уравнение P = -2/S:

• Для S = 1: P = -2/1 = -2.
• Для S = 2: P = -2/2 = -1.
• Для S = -3: P = -2/(-3) = 2/3.

Шаг 8: Находим x и y.

Теперь у нас есть пары (S, P): (1, -2), (2, -1), (-3, 2/3). Мы можем использовать уравнения:

t² - St + P = 0, чтобы найти x и y.

Решим для каждой пары:

• 1) Для (1, -2): t² - 1t - 2 = 0, корни: x = 2, y = -1 (или наоборот).
• 2) Для (2, -1): t² - 2t - 1 = 0, корни: x = 1 + √2, y = 1 - √2 (или наоборот).
• 3) Для (-3, 2/3): t² + 3t + 2/3 = 0. Найдем корни через дискриминант.

Шаг 9: Подводим итог.

Таким образом, мы нашли все возможные значения для x и y, которые удовлетворяют данной системе уравнений.