Чтобы решить данную систему уравнений, начнем с первого уравнения:

1. Уравнение (x - y)² + (x - y) - 2 = 0:

Обозначим z = (x - y). Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

z² + z - 2 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = 1, c = -2.
• Вычисляем D: D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

Теперь находим корни уравнения:

• z₁ = (-b + √D) / (2a) = (-1 + 3) / 2 = 1.
• z₂ = (-b - √D) / (2a) = (-1 - 3) / 2 = -2.

Таким образом, мы получили два значения для z:

• z₁ = 1,
• z₂ = -2.

Теперь вернемся к переменным x и y:

• Для z₁ = 1: x - y = 1, или x = y + 1.
• Для z₂ = -2: x - y = -2, или x = y - 2.

2. Подставляем найденные значения в второе уравнение x² + y² = 41:

Начнем с первого случая:

• Подставляем x = y + 1 в уравнение:
• (y + 1)² + y² = 41.
• Раскроем скобки: y² + 2y + 1 + y² = 41.
• Упрощаем: 2y² + 2y + 1 = 41.
• Переносим 41 в левую часть: 2y² + 2y - 40 = 0.
• Делим на 2: y² + y - 20 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

• Дискриминант D = 1² - 4 * 1 * (-20) = 1 + 80 = 81.
• Корни: y₁ = (-1 + 9) / 2 = 4, y₂ = (-1 - 9) / 2 = -5.

Теперь находим соответствующие значения x:

• Если y = 4, то x = 4 + 1 = 5.
• Если y = -5, то x = -5 + 1 = -4.

Таким образом, получили пару решений для первого случая: (5, 4) и (-4, -5).

Теперь рассмотрим второй случай:

• Подставляем x = y - 2 в уравнение:
• (y - 2)² + y² = 41.
• Раскроем скобки: y² - 4y + 4 + y² = 41.
• Упрощаем: 2y² - 4y + 4 = 41.
• Переносим 41 в левую часть: 2y² - 4y - 37 = 0.
• Делим на 2: y² - 2y - 18.5 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

• Дискриминант D = (-2)² - 4 * 1 * (-18.5) = 4 + 74 = 78.
• Корни: y₁ = (2 + √78) / 2, y₂ = (2 - √78) / 2.

Теперь находим соответствующие значения x:

• Если y₁ = (2 + √78) / 2, то x₁ = (2 + √78) / 2 - 2.
• Если y₂ = (2 - √78) / 2, то x₂ = (2 - √78) / 2 - 2.

Итак, окончательные решения системы:

• (5, 4),
• (-4, -5),
• ((2 + √78) / 2 - 2, (2 + √78) / 2),
• ((2 - √78) / 2 - 2, (2 - √78) / 2).