Как можно решить уравнение arccos(x/4) = arccos(x^2 + x/4 - 9)?

Алгебра 11 класс Уравнения с обратными тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 11 класс arccos математические уравнения методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения arccos(x/4) = arccos(x^2 + x/4 - 9) мы можем воспользоваться свойствами функции арккосинуса. Давайте разберем шаги решения подробнее.

1. Используем свойства арккосинуса: Если arccos(a) = arccos(b), то это означает, что a = b или a = -b, при условии, что a и b находятся в пределах определения функции (то есть -1 ≤ a, b ≤ 1).
2. Записываем два случая:
   • Случай 1: x/4 = x^2 + x/4 - 9
   • Случай 2: x/4 = -(x^2 + x/4 - 9)
3. Решаем первый случай:
   • Упростим уравнение: x/4 = x^2 + x/4 - 9.
   • Сократим x/4 с обеих сторон: 0 = x^2 - 9.
   • Переносим 9 в левую часть: x^2 - 9 = 0.
   • Факторизуем: (x - 3)(x + 3) = 0.
   • Находим корни: x = 3 и x = -3.
4. Решаем второй случай:
   • Упростим уравнение: x/4 = -(x^2 + x/4 - 9).
   • Переносим все в одну сторону: x/4 + x^2 + x/4 - 9 = 0.
   • Упрощаем: x^2 + (2x/4) - 9 = 0, что эквивалентно x^2 + (x/2) - 9 = 0.
   • Умножим уравнение на 2 для избавления от дробей: 2x^2 + x - 18 = 0.
   • Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*2*(-18) = 1 + 144 = 145.
   • Находим корни: x = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± √145) / 4.
5. Проверяем корни: Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условиям определения функции арккосинуса, то есть -1 ≤ x/4 ≤ 1 и -1 ≤ x^2 + x/4 - 9 ≤ 1.

Таким образом, у нас есть два типа корней: x = 3, x = -3 и два корня из второго случая. После проверки условий, мы определим, какие из них являются действительными решениями уравнения.