Как можно решить уравнение: х^2=10^lgx+1?

Алгебра 11 класс Уравнения с логарифмами и показательной функцией уравнение алгебра решение х^2 10^lgx 11 класс математические уравнения логарифмы Квадратные уравнения Новый

Для решения уравнения x^2 = 10^(lg x) + 1 давайте разберем его шаг за шагом.

Сначала вспомним, что lg x — это логарифм по основанию 10. Таким образом, 10^(lg x) равен x, поскольку по определению логарифма, если y = lg x, то x = 10^y.

Теперь подставим это в наше уравнение:

• Исходное уравнение: x^2 = 10^(lg x) + 1
• Заменяем 10^(lg x) на x: x^2 = x + 1

Теперь мы имеем простое квадратное уравнение:

x^2 - x - 1 = 0

Для решения квадратного уравнения мы можем использовать формулу корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -1.

Подставим значения:

• b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5

Теперь подставляем в формулу:

x = (1 ± √5) / 2

Таким образом, у нас есть два корня:

• x1 = (1 + √5) / 2
• x2 = (1 - √5) / 2

Теперь давайте оценим, какие из этих корней подходят для нашего уравнения. Поскольку lg x определен только для x > 0, нам нужно проверить, какой из корней положительный:

• x1 = (1 + √5) / 2 — это положительное число, так как √5 примерно равно 2.24, следовательно, x1 ≈ 1.618.
• x2 = (1 - √5) / 2 — это отрицательное число, так как 1 - √5 < 0.

Таким образом, единственным решением уравнения является x = (1 + √5) / 2.

В заключение, мы нашли, что x ≈ 1.618 является решением уравнения x^2 = 10^(lg x) + 1.