Как можно решить уравнение (x+10)^{lg(x+10)} = 10?

Алгебра 11 класс Уравнения с логарифмами и показательной функцией уравнение решение уравнения алгебра 11 класс логарифмы математические задачи Новый

Для решения уравнения (x+10)^{lg(x+10)} = 10, давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Введение замены

Сначала введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть:

y = lg(x + 10)

Тогда x + 10 = 10^y. Подставим это в уравнение:

(10^y)^y = 10

Шаг 2: Упрощение уравнения

Теперь упростим левую часть уравнения:

10^{y^2} = 10

Поскольку основание одинаковое (10), мы можем приравнять показатели:

y^2 = 1

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь решим уравнение y^2 = 1:

• y = 1
• y = -1

Шаг 4: Обратная замена

Теперь вернемся к нашей замене:

• Если y = 1, то lg(x + 10) = 1, что означает x + 10 = 10^1 = 10. Следовательно, x = 10 - 10 = 0.
• Если y = -1, то lg(x + 10) = -1, что означает x + 10 = 10^{-1} = 0.1. Следовательно, x = 0.1 - 10 = -9.9.

Шаг 5: Проверка решений

Проверим, допустимы ли найденные решения:

• Для x = 0: x + 10 = 10, lg(10) = 1, (10)^{lg(10)} = 10, уравнение выполняется.
• Для x = -9.9: x + 10 = 0.1, lg(0.1) = -1, (0.1)^{lg(0.1)} = 10, уравнение также выполняется.

Ответ:

Таким образом, у уравнения (x + 10)^{lg(x + 10)} = 10 два решения: x = 0 и x = -9.9.