Как можно решить уравнение (x+1)^4 + (x-3)^4 = 32? Помогите, пожалуйста!!!

Алгебра 11 класс Уравнения с высшими степенями решение уравнения алгебра 11 класс (x+1)^4 + (x-3)^4 = 32 помощь с уравнением методы решения уравнений

Привет, Энтузиаст! Давай вместе разберемся с этим уравнением! Это будет увлекательно и интересно!

У нас есть уравнение:

(x+1)^4 + (x-3)^4 = 32

Чтобы решить его, давай сделаем несколько шагов:

1. Введем замену: Обозначим a = x + 1 и b = x - 3. Тогда у нас получится:
• a = x + 1
• b = x - 3
2. Теперь выразим x через a и b:
• x = a - 1
• x = b + 3
3. Сравним a и b: из уравнений видно, что:
• a - 1 = b + 3
• a - b = 4
4. Теперь подставим a и b в наше уравнение:
• a^4 + b^4 = 32
5. Используем формулу: a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2. Это может помочь упростить уравнение.
6. Также можно использовать метод подбора: попробуем подставить разные значения x и посмотрим, что получится!

Например, давай попробуем x = 1:

(1 + 1)^4 + (1 - 3)^4 = 2^4 + (-2)^4 = 16 + 16 = 32. Ура! x = 1 - это решение!

Теперь попробуем x = -1:

(-1 + 1)^4 + (-1 - 3)^4 = 0 + (-4)^4 = 0 + 256 ≠ 32. Не подходит.

Давай проверим x = 2:

(2 + 1)^4 + (2 - 3)^4 = 3^4 + (-1)^4 = 81 + 1 = 82 ≠ 32. Не подходит.

Итак, мы нашли одно решение: x = 1! Возможно, есть и другие, но это уже будет зависеть от дальнейшего анализа.

Надеюсь, это поможет тебе в решении задачи! Успехов в учёбе!

Чтобы решить уравнение (x+1)^4 + (x-3)^4 = 32, давайте сначала упростим его. Мы можем использовать замену переменных для упрощения вычислений. Обозначим:

• y1 = x + 1
• y2 = x - 3

Тогда у нас есть:

• y1 = x + 1
• y2 = x - 3 = (y1 - 4)

Теперь можно переписать уравнение через y1:

(y1)^4 + (y1 - 4)^4 = 32

Теперь давайте раскроем (y1 - 4)^4 с помощью бинома Ньютона:

(y1 - 4)^4 = y1^4 - 16y1^3 + 96y1^2 - 256y1 + 256

Теперь подставим это в уравнение:

y1^4 + (y1^4 - 16y1^3 + 96y1^2 - 256y1 + 256) = 32

Соберем все в одно уравнение:

2y1^4 - 16y1^3 + 96y1^2 - 256y1 + 256 - 32 = 0

Упрощаем:

2y1^4 - 16y1^3 + 96y1^2 - 256y1 + 224 = 0

Теперь можно разделить все коэффициенты на 2:

y1^4 - 8y1^3 + 48y1^2 - 128y1 + 112 = 0

Это многочлен четвертой степени, который можно попытаться решить различными методами, например, методом подбора или с помощью численных методов. Однако, давайте попробуем найти корни с помощью подбора:

Попробуем найти корни целыми числами, начиная с y1 = 4:

4^4 - 8*4^3 + 48*4^2 - 128*4 + 112 = 256 - 512 + 768 - 512 + 112 = 112 (не равен 0)

Теперь попробуем y1 = 3:

3^4 - 8*3^3 + 48*3^2 - 128*3 + 112 = 81 - 216 + 432 - 384 + 112 = 25 (не равен 0)

Попробуем y1 = 2:

2^4 - 8*2^3 + 48*2^2 - 128*2 + 112 = 16 - 64 + 192 - 256 + 112 = 0 (равен 0)

Итак, y1 = 2 является корнем. Теперь подставим его обратно в y1:

y1 = x + 1 => 2 = x + 1 => x = 1

Теперь проверим, есть ли другие корни. Можно воспользоваться делением многочлена на (y1 - 2):

y1^4 - 8y1^3 + 48y1^2 - 128y1 + 112 = (y1 - 2)(y1^3 - 6y1^2 + 36y1 - 56)

Теперь решим кубическое уравнение y1^3 - 6y1^2 + 36y1 - 56 = 0. Попробуем подбирать корни:

y1 = 4:

4^3 - 6*4^2 + 36*4 - 56 = 64 - 96 + 144 - 56 = 56 (не равен 0)

y1 = 3:

3^3 - 6*3^2 + 36*3 - 56 = 27 - 54 + 108 - 56 = 25 (не равен 0)

y1 = 5:

5^3 - 6*5^2 + 36*5 - 56 = 125 - 150 + 180 - 56 = 99 (не равен 0)

y1 = 6:

6^3 - 6*6^2 + 36*6 - 56 = 216 - 216 + 216 - 56 = 144 (не равен 0)

y1 = 7:

7^3 - 6*7^2 + 36*7 - 56 = 343 - 294 + 252 - 56 = 245 (не равен 0)

y1 = 8:

8^3 - 6*8^2 + 36*8 - 56 = 512 - 384 + 288 - 56 = 360 (не равен 0)

Теперь можно использовать численные методы или графический метод для нахождения остальных корней. Однако, мы уже нашли один корень:

Ответ: x = 1 является решением уравнения.