Как решить уравнение: (x-3)^4 + (x-6)^4=16?

Алгебра 11 класс Уравнения с высшими степенями решение уравнения алгебра 11 класс (x-3)^4 + (x-6)^4=16 уравнения 11 класс алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение (x-3)^4 + (x-6)^4 = 16, давайте сначала упростим его, введя замену переменной.

Обозначим:

• y1 = x - 3
• y2 = x - 6

Тогда можно выразить y2 через y1:

y2 = y1 - 3

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

(y1)^4 + (y1 - 3)^4 = 16

Теперь раскроем скобки в (y1 - 3)^4, используя формулу бинома:

(y1 - 3)^4 = y1^4 - 4 * 3 * y1^3 + 6 * 3^2 * y1^2 - 4 * 3^3 * y1 + 3^4

Это упростится до:

(y1 - 3)^4 = y1^4 - 12y1^3 + 54y1^2 - 108y1 + 81

Теперь подставим это в уравнение:

y1^4 + (y1^4 - 12y1^3 + 54y1^2 - 108y1 + 81) = 16

Сложим подобные слагаемые:

2y1^4 - 12y1^3 + 54y1^2 - 108y1 + 81 - 16 = 0

Упрощаем:

2y1^4 - 12y1^3 + 54y1^2 - 108y1 + 65 = 0

Теперь мы имеем полином 4-й степени. Чтобы решить его, можно воспользоваться числовыми методами или графическим методом, но сначала попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях.

Пробуем подставить некоторые значения для y1:

• y1 = 1: 2(1)^4 - 12(1)^3 + 54(1)^2 - 108(1) + 65 = 2 - 12 + 54 - 108 + 65 = 1 (не равен 0)
• y1 = 2: 2(2)^4 - 12(2)^3 + 54(2)^2 - 108(2) + 65 = 32 - 96 + 216 - 216 + 65 = 1 (не равен 0)
• y1 = 3: 2(3)^4 - 12(3)^3 + 54(3)^2 - 108(3) + 65 = 162 - 324 + 486 - 324 + 65 = 65 (не равен 0)
• y1 = 4: 2(4)^4 - 12(4)^3 + 54(4)^2 - 108(4) + 65 = 512 - 768 + 864 - 432 + 65 = 241 (не равен 0)
• y1 = 5: 2(5)^4 - 12(5)^3 + 54(5)^2 - 108(5) + 65 = 1250 - 1500 + 1350 - 540 + 65 = 625 (не равен 0)

Если не удается найти корни, можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти корни полинома.

После нахождения корней y1, не забудьте вернуть переменную x, используя y1 = x - 3. Таким образом, x = y1 + 3.

В итоге, мы получим все возможные значения x, которые являются решениями исходного уравнения.