Как можно упростить следующее выражение: (x + 3)/(x ^ 2 + 9) * ((x + 3)/(x - 3) + (x - 3)/(x + 3))?

Алгебра 11 класс Упрощение дробных выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс дробные выражения математические операции алгебраические выражения Новый

Чтобы упростить данное выражение, начнем с его разбора на части. У нас есть:

(x + 3)/(x ^ 2 + 9) * ((x + 3)/(x - 3) + (x - 3)/(x + 3))

Сначала упростим вторую часть выражения: ((x + 3)/(x - 3) + (x - 3)/(x + 3)).

1. Для сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен (x - 3)(x + 3).
2. Теперь преобразуем каждую дробь:
• (x + 3)/(x - 3) умножаем на (x + 3)/(x + 3), получаем: (x + 3)^2 / ((x - 3)(x + 3)).
• (x - 3)/(x + 3) умножаем на (x - 3)/(x - 3), получаем: (x - 3)^2 / ((x + 3)(x - 3)).
3. Теперь можем сложить дроби:
(x + 3)^2 + (x - 3)^2 будет в числителе, а в знаменателе останется (x - 3)(x + 3).

Теперь найдем (x + 3)^2 + (x - 3)^2:

• (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
• (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9

Сложив их, получаем:

2x^2 + 18 (так как 6x и -6x взаимно уничтожаются).

Теперь подставим обратно в дробь:

(2x^2 + 18) / ((x - 3)(x + 3))

Теперь у нас есть выражение:

(x + 3)/(x^2 + 9) * (2x^2 + 18) / ((x - 3)(x + 3))

Теперь можем сократить (x + 3) в числителе и знаменателе:

1/(x^2 + 9) * (2x^2 + 18) / (x - 3)

Теперь упростим выражение:

(2x^2 + 18) / ((x^2 + 9)(x - 3))

Далее, можно вынести 2 из числителя:

2(x^2 + 9) / ((x^2 + 9)(x - 3))

Теперь можем сократить (x^2 + 9):

2 / (x - 3)

Таким образом, мы пришли к окончательному упрощенному выражению:

2 / (x - 3)