Как можно вычислить интеграл:

1. С верхним пределом 3 и нижним пределом 1 для выражения (x^2 + 3/x)dx?
2. С верхним пределом Пи/2 и нижним пределом 0 для выражения Sin^2x dx?

Алгебра 11 класс Неопределенные и определенные интегралы вычисление интеграла интеграл с верхним пределом интеграл с нижним пределом интеграл (x^2 + 3/x)dx интеграл Sin^2x dx методы вычисления интегралов алгебра 11 класс задачи по интегралам интегралы в алгебре применение интегралов Новый

Для вычисления определенных интегралов, таких как интеграл от (x^2 + 3/x)dx с пределами от 1 до 3 и интеграл от sin^2(x)dx с пределами от 0 до π/2, мы будем следовать определенному алгоритму. Давайте рассмотрим оба интеграла поочередно.

1. Интеграл от (x^2 + 3/x)dx с пределами от 1 до 3:

1. Сначала найдем неопределенный интеграл от функции x^2 + 3/x:
• Интеграл от x^2 равен (1/3)x^3.
• Интеграл от 3/x равен 3ln|x|.
2. Таким образом, неопределенный интеграл будет:
(1/3)x^3 + 3ln|x| + C
3. Теперь подставим пределы интегрирования:
• Сначала подставим верхний предел 3:
(1/3)(3^3) + 3ln|3| = (1/3)(27) + 3ln(3) = 9 + 3ln(3)
• Теперь подставим нижний предел 1:
(1/3)(1^3) + 3ln|1| = (1/3)(1) + 3(0) = 1/3
4. Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:
(9 + 3ln(3)) - (1/3) = 9 - 1/3 + 3ln(3) = 26/3 + 3ln(3)

2. Интеграл от sin^2(x)dx с пределами от 0 до π/2:

1. Для вычисления интеграла от sin^2(x) мы используем тригонометрическую идентичность:
sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2
2. Теперь можем переписать интеграл:
∫(sin^2(x)dx) = ∫((1 - cos(2x))/2)dx
3. Разделим интеграл:
(1/2)∫(1)dx - (1/2)∫(cos(2x))dx
4. Теперь найдем оба интеграла:
• ∫(1)dx = x
• ∫(cos(2x))dx = (1/2)sin(2x) (поскольку производная sin(2x) равна 2cos(2x))
5. Таким образом, неопределенный интеграл будет:
(1/2)x - (1/4)sin(2x) + C
6. Подставим пределы интегрирования:
• Сначала подставим верхний предел π/2:
(1/2)(π/2) - (1/4)sin(π) = (π/4) - 0 = π/4
• Теперь подставим нижний предел 0:
(1/2)(0) - (1/4)sin(0) = 0 - 0 = 0
7. Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:
(π/4) - 0 = π/4

Таким образом, результаты интегралов:

• ∫(x^2 + 3/x)dx от 1 до 3 = 26/3 + 3ln(3)
• ∫(sin^2(x))dx от 0 до π/2 = π/4