Как вычислить интеграл ∫ (от 0 до π/3) e^(cos x) * sin x * dx?

Алгебра 11 класс Неопределенные и определенные интегралы вычислить интеграл интеграл от 0 до π/3 e^(cos x) * sin x интеграл по частям методы интегрирования Новый

Чтобы вычислить интеграл ∫ (от 0 до π/3) e^(cos x) * sin x * dx, мы можем воспользоваться методом подстановки. Давайте рассмотрим шаги выполнения этого интеграла.

1. Выбор подстановки: Мы заметим, что производная функции cos x равна -sin x. Это подсказывает нам, что мы можем использовать подстановку u = cos x. Тогда, соответственно, du = -sin x dx, что означает, что sin x dx = -du.
2. Изменение пределов интегрирования: При подстановке также нужно изменить пределы интегрирования.
   • Когда x = 0, u = cos(0) = 1.
   • Когда x = π/3, u = cos(π/3) = 1/2.
   Таким образом, новые пределы интегрирования будут от 1 до 1/2.
3. Запись интеграла в новых переменных: Теперь наш интеграл можно записать как:

   ∫ (от 1 до 1/2) e^u * (-du).

   Это можно переписать как:

   -∫ (от 1 до 1/2) e^u du.

   Мы можем изменить пределы интегрирования, чтобы избавиться от отрицательного знака, и получим:

   ∫ (от 1/2 до 1) e^u du.

4. Вычисление интеграла: Интеграл ∫ e^u du равен e^u. Теперь мы можем вычислить это определенное интеграл:

   [e^u] (от 1/2 до 1) = e^1 - e^(1/2) = e - √e.

Таким образом, окончательный ответ для интеграла ∫ (от 0 до π/3) e^(cos x) * sin x * dx равен e - √e.