Как можно вычислить площадь области, заключенной между параболой y=4-x^2, вертикальными линиями x=-1 и x=1, а также осью x?

Алгебра 11 класс Определенный интеграл площадь области парабола y=4-x^2 вертикальные линии x=-1 x=1 ось X интеграл алгебра 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь области, заключенной между параболой y = 4 - x², вертикальными линиями x = -1 и x = 1, а также осью x, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти точки пересечения параболы с осью x:

   Для этого мы приравняем уравнение параболы к нулю:

   4 - x² = 0

   Решим это уравнение:

   • x² = 4
   • x = ±2

   Таким образом, парабола пересекает ось x в точках x = -2 и x = 2.

2. Определить область интегрирования:

   Нам нужно найти площадь между x = -1 и x = 1, поэтому мы будем интегрировать от -1 до 1.

3. Записать интеграл для вычисления площади:

   Площадь S под кривой y = 4 - x² от x = -1 до x = 1 вычисляется по формуле:

   S = ∫ (4 - x²) dx от -1 до 1.

4. Вычислить интеграл:

   Теперь найдем первообразную функции 4 - x²:

   • ∫(4 - x²) dx = 4x - (x³/3) + C

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   S = [4x - (x³/3)] от -1 до 1.

5. Подставить верхний и нижний пределы:

   Сначала подставим верхний предел (x = 1):

   • 4(1) - (1³/3) = 4 - 1/3 = 12/3 - 1/3 = 11/3.

   Теперь подставим нижний предел (x = -1):

   • 4(-1) - ((-1)³/3) = -4 + 1/3 = -12/3 + 1/3 = -11/3.
6. Вычислить площадь:

   Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего:

   S = (11/3) - (-11/3) = 11/3 + 11/3 = 22/3.

Ответ: Площадь области, заключенной между параболой y = 4 - x², вертикальными линиями x = -1 и x = 1, а также осью x, равна 22/3.