Как можно вычислить производную сложной функции y=log 3(x2-sin6x)?

Алгебра 11 класс Производная сложной функции производная сложной функции вычисление производной логарифмическая функция алгебра 11 класс y=log 3(x2-sin6x)

Чтобы вычислить производную сложной функции y = log₃(x² - sin(6x)), мы будем использовать правило производной сложной функции, которое называется правилом цепочки, а также правило для производной логарифмической функции.

Давайте разберем процесс шаг за шагом:

1. Определим внешнюю и внутреннюю функции:
   • Внешняя функция: u = log₃(v), где v = x² - sin(6x).
   • Внутренняя функция: v = x² - sin(6x).
2. Найдём производную внешней функции:
   • Производная логарифмической функции с основанием a: d/dx(logₐ(u)) = (1 / (u * ln(a))) * (du/dx).
   • Таким образом, d/dx(log₃(v)) = (1 / (v * ln(3))) * (dv/dx).
3. Теперь найдём производную внутренней функции v:
   • v = x² - sin(6x).
   • Производная v: dv/dx = d/dx(x²) - d/dx(sin(6x)).
   • Производная x² равна 2x.
   • Для производной sin(6x) используем правило производной составной функции: d/dx(sin(kx)) = k * cos(kx). В нашем случае k = 6, значит d/dx(sin(6x)) = 6 * cos(6x).
   • Таким образом, dv/dx = 2x - 6 * cos(6x).
4. Теперь подставим dv/dx обратно в производную внешней функции:
   • Теперь у нас есть d/dx(log₃(v)) = (1 / (v * ln(3))) * (2x - 6 * cos(6x)).
   • Подставим v: v = x² - sin(6x).
   • Итак, d/dx(log₃(x² - sin(6x))) = (1 / ((x² - sin(6x)) * ln(3))) * (2x - 6 * cos(6x)).

Итак, окончательная форма производной функции y:

d/dx(y) = (1 / ((x² - sin(6x)) * ln(3))) * (2x - 6 * cos(6x)).

Таким образом, мы вычислили производную сложной функции, используя правило цепочки и свойства производной логарифмической функции.

Чтобы вычислить производную функции y = log₃(x² - sin⁶(x)), мы воспользуемся правилами дифференцирования, в частности, правилом производной логарифмической функции и правилом цепочки.

Шаг 1: Применение производной логарифмической функции.

Производная логарифмической функции вида log_a(u) равна:

dy/dx = (1 / (u * ln(a))) * (du/dx),

где u - это аргумент логарифма (в нашем случае u = x² - sin⁶(x)), а ln(a) - натуральный логарифм основания логарифма.

Шаг 2: Найдем производную u.

Теперь нам нужно найти производную u = x² - sin⁶(x). Для этого применим правило дифференцирования:

• Производная x² равна 2x.
• Теперь найдем производную sin⁶(x). Здесь мы используем правило цепочки:
• Сначала найдем производную sin(x), которая равна cos(x).
• Далее, применяем правило степени: d/dx(sin⁶(x)) = 6 * sin⁵(x) * cos(x).

Таким образом, производная u будет:

du/dx = 2x - 6 * sin⁵(x) * cos(x).

Шаг 3: Подставим u и du/dx в формулу для dy/dx.

Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу для производной логарифмической функции:

dy/dx = (1 / ((x² - sin⁶(x)) * ln(3))) * (2x - 6 * sin⁵(x) * cos(x)).

Итак, окончательный ответ:

Производная функции y = log₃(x² - sin⁶(x)) равна:

dy/dx = (2x - 6 * sin⁵(x) * cos(x)) / ((x² - sin⁶(x)) * ln(3)).

Таким образом, мы нашли производную сложной функции, используя правила дифференцирования логарифмов и цепочки. Если у вас есть вопросы по каждому из шагов, не стесняйтесь спрашивать!