Чтобы вычислить производную каждой из данных сложных функций, необходимо применить различные правила дифференцирования, такие как правило цепочки, правило произведения и правило частного. Давайте разберем каждую функцию по отдельности.

1. Функция: y = (tg(5x))^5

   Для нахождения производной этой функции используем правило цепочки. Пусть u = tg(5x), тогда y = u^5. Производная функции y = u^5 по u равна 5u^4.

   • Сначала найдем производную u = tg(5x). Производная тангенса: (tg(v))' = sec^2(v), где v = 5x.
   • Производная 5x по x равна 5.
   • Таким образом, производная u по x: (tg(5x))' = 5 * sec^2(5x).
   • Теперь применим правило цепочки: y' = 5 * (tg(5x))^4 * (tg(5x))' = 5 * (tg(5x))^4 * 5 * sec^2(5x) = 25 * (tg(5x))^4 * sec^2(5x).
2. Функция: y = (1/(x²-7x+8))^2

   Эта функция также требует применения правила цепочки. Пусть u = 1/(x²-7x+8), тогда y = u^2. Производная функции y = u^2 по u равна 2u.

   • Сначала найдем производную u = 1/(x²-7x+8). Это частная функция, и ее производная: (1/v)' = -v'/v^2, где v = x²-7x+8.
   • Производная v по x: v' = 2x - 7.
   • Таким образом, производная u по x: u' = - (2x - 7)/(x²-7x+8)^2.
   • Теперь применим правило цепочки: y' = 2 * (1/(x²-7x+8)) * u' = 2 * (1/(x²-7x+8)) * (- (2x - 7)/(x²-7x+8)^2) = -2 * (2x - 7)/(x²-7x+8)^3.
3. Функция: y = 1 - 2sin²(3x)

   Эта функция требует применения правила цепочки для производной синуса. Пусть u = sin(3x), тогда y = 1 - 2u². Производная функции y = 1 - 2u² по u равна -4u.

   • Сначала найдем производную u = sin(3x). Производная синуса: (sin(v))' = cos(v), где v = 3x.
   • Производная 3x по x равна 3.
   • Таким образом, производная u по x: (sin(3x))' = 3 * cos(3x).
   • Теперь применим правило цепочки: y' = -4 * sin(3x) * (sin(3x))' = -4 * sin(3x) * 3 * cos(3x) = -12 * sin(3x) * cos(3x).
4. Функция: y = √((x²-1)/(x²-5))

   Для этой функции используем правило цепочки и правило частного. Пусть u = (x²-1)/(x²-5), тогда y = √u, что равно u^(1/2). Производная функции y = u^(1/2) по u равна (1/2)u^(-1/2).

   • Сначала найдем производную u = (x²-1)/(x²-5). Это частная функция, и ее производная: (u/v)' = (u'v - uv')/v^2, где u = x²-1 и v = x²-5.
   • Производная u по x: u' = 2x.
   • Производная v по x: v' = 2x.
   • Таким образом, производная u по x: ((x²-1)/(x²-5))' = ((2x)(x²-5) - (x²-1)(2x))/(x²-5)^2 = (2x^3 - 10x - 2x^3 + 2x)/(x²-5)^2 = (-8x)/(x²-5)^2.
   • Теперь применим правило цепочки: y' = (1/2) * ((x²-1)/(x²-5))^(-1/2) * ((-8x)/(x²-5)^2) = -4x / ((x²-1)/(x²-5))^(1/2) * (x²-5)^2.