Давайте по порядку разберем каждую из функций, начиная с первой.

Область определения: Это множество всех значений x, для которых функция определена. Поскольку это квадратная функция, она определена для всех действительных чисел. Таким образом, область определения:

• Область определения: (-∞; +∞)

Область значений: Это множество всех возможных значений y, которые может принимать функция. Так как x^2 всегда неотрицательно, минимальное значение y будет, когда x = 0:

• y = 0^2 + 2 = 2

Следовательно, y может принимать значения от 2 до бесконечности:

• Область значений: [2; +∞)

Нули функции: Нули функции – это значения x, при которых y = 0. Решим уравнение:

• x^2 + 2 = 0

Это уравнение не имеет решений, так как x^2 не может быть отрицательным. Таким образом:

• Нули функции: нет

Точки разрыва: Поскольку это полиномиальная функция, она непрерывна на всей области определения. Следовательно:

• Точки разрыва: нет

Промежутки знакопостоянства: Мы видим, что функция всегда принимает значения больше или равные 2. Таким образом, функция положительна на всей области определения:

• Промежутки знакопостоянства: (0; +∞) – положительна

Теперь перейдем ко второй функции.

Область определения: Эта функция также является полиномиальной и определена для всех действительных чисел:

• Область определения: (-∞; +∞)

Область значений: Для нахождения области значений найдем максимум функции. Это парабола, открытая вниз, и её вершина будет максимальной точкой. Формула для нахождения x-координаты вершины параболы:

• x = -b/(2a), где a = -4, b = 3.

Подставляем:

• x = -0/(2*(-4)) = 0

Теперь найдем значение функции в этой точке:

• y(0) = 3 - 4*0^2 = 3

Так как функция убывает на интервале (-∞; 0) и возрастает на интервале (0; +∞), область значений будет:

• Область значений: (-∞; 3]

Нули функции: Найдем, когда y = 0:

• 3 - 4x^2 = 0
• 4x^2 = 3
• x^2 = 3/4
• x = ±√(3/4) = ±√3/2

Таким образом:

• Нули функции: x = -√3/2 и x = √3/2

Точки разрыва: Поскольку это также полиномиальная функция, она непрерывна на всей области определения:

• Точки разрыва: нет

Промежутки знакопостоянства: Функция положительна, когда y > 0:

• 3 - 4x^2 > 0
• 4x^2 < 3
• x^2 < 3/4
• -√3/2 < x < √3/2

Таким образом:

• Промежутки знакопостоянства: (-√3/2; √3/2) – положительна
• (-∞; -√3/2) и (√3/2; +∞) – отрицательна

Таким образом, мы нашли все необходимые характеристики для обеих функций!