Как найти решение уравнения log5(2x) + log5(x) - 2 = 0? Пожалуйста, помогите!

Алгебра 11 класс Логарифмы и логарифмические уравнения решение уравнения Логарифмическое уравнение алгебра 11 класс log5(2x) log5(x) методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения log5(2x) + log5(x) - 2 = 0, давайте сначала воспользуемся свойствами логарифмов.

Шаг 1: Объединение логарифмов

Согласно свойству логарифмов, loga(b) + loga(c) = loga(b * c). Применим это свойство к нашему уравнению:

• log5(2x) + log5(x) = log5(2x * x) = log5(2x^2).

Теперь у нас есть следующее уравнение:

log5(2x^2) - 2 = 0.

Шаг 2: Переносим 2 в правую часть

Теперь перенесем -2 в правую часть уравнения:

log5(2x^2) = 2.

Шаг 3: Преобразование логарифмического уравнения в экспоненциальное

Логарифмическое уравнение можно преобразовать в экспоненциальное. Это означает, что если loga(b) = c, то b = a^c. В нашем случае это будет:

2x^2 = 5^2.

Шаг 4: Вычисляем 5^2

Теперь вычислим 5^2:

5^2 = 25.

Шаг 5: Записываем уравнение

Теперь у нас есть уравнение:

2x^2 = 25.

Шаг 6: Делим обе стороны на 2

Теперь разделим обе стороны на 2:

x^2 = 25 / 2.

Шаг 7: Извлекаем корень

Теперь извлечем корень из обеих сторон:

x = ±√(25 / 2).

Шаг 8: Упрощаем корень

Упрощаем корень:

x = ±(5 / √2) = ±(5√2 / 2).

Шаг 9: Проверка на допустимость

Теперь нам нужно проверить, какие из найденных значений x допустимы. Поскольку мы работаем с логарифмами, x должен быть больше 0:

• x = 5√2 / 2 > 0 (допустимо).
• x = -5√2 / 2 < 0 (недопустимо).

Таким образом, единственным допустимым решением является:

x = 5√2 / 2.