Помогите решить уравнение: log4(1/x^2) + log4(корень из x) = -3

Алгебра 11 класс Логарифмы и логарифмические уравнения логарифмы уравнение алгебра 11 класс решение уравнения log4 корень из x математические задачи алгебраические уравнения Новый

Давайте решим уравнение log4(1/x^2) + log4(корень из x) = -3 шаг за шагом.

Первым делом, воспользуемся свойствами логарифмов. Мы знаем, что:

• log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)
• log_a(1/b) = -log_a(b)

Сначала преобразуем первое логарифмическое выражение:

• log4(1/x^2) = log4(x^(-2)) = -2 * log4(x)

Теперь рассмотрим второе логарифмическое выражение:

• log4(корень из x) = log4(x^(1/2)) = (1/2) * log4(x)

Теперь подставим эти преобразования в уравнение:

• -2 * log4(x) + (1/2) * log4(x) = -3

Теперь объединим логарифмы:

• (-2 + 1/2) * log4(x) = -3
• -4/2 + 1/2 = -3/2

Таким образом, у нас получается:

• -3/2 * log4(x) = -3

Теперь разделим обе стороны уравнения на -3/2:

• log4(x) = -3 / (-3/2) = 2

Теперь мы можем преобразовать логарифмическое уравнение в экспоненциальное:

• x = 4^2
• x = 16

Теперь давайте проверим, подходит ли найденное значение x = 16 для исходного уравнения:

• log4(1/16^2) + log4(корень из 16) = log4(1/256) + log4(4)
• log4(1/256) = log4(4^(-4)) = -4
• log4(4) = 1
• -4 + 1 = -3

Таким образом, уравнение выполняется, и мы можем заключить, что:

Ответ: x = 16