Для решения задачи общего дифференциального уравнения второго порядка y'' + 9y = 0 с заданными начальными условиями y(0) = 0 и y'(0) = 3, следуем следующим шагам:

1. Найдем общее решение однородного уравнения.

Уравнение y'' + 9y = 0 является линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Для его решения найдем характеристическое уравнение:

• r^2 + 9 = 0

Решая это уравнение, получаем:

• r^2 = -9
• r = ±3i

Корни характеристического уравнения являются комплексными. Это означает, что общее решение будет иметь вид:

• y(t) = C1 * cos(3t) + C2 * sin(3t)
2. Применим начальные условия для нахождения постоянных C1 и C2.

Теперь подставим начальные условия в общее решение:

• Первое начальное условие: y(0) = 0

Подставляем t = 0 в общее решение:

• y(0) = C1 * cos(0) + C2 * sin(0) = C1 * 1 + C2 * 0 = C1

Таким образом, C1 = 0.

• Второе начальное условие: y'(0) = 3

Сначала найдем производную y(t):

• y'(t) = -C1 * 3 * sin(3t) + C2 * 3 * cos(3t)

Теперь подставим t = 0:

• y'(0) = -C1 * 3 * sin(0) + C2 * 3 * cos(0) = -C1 * 0 + C2 * 3 * 1 = 3C2

По условию y'(0) = 3, значит:

• 3C2 = 3
• C2 = 1
3. Запишем окончательное решение.

Теперь, подставив найденные значения C1 и C2 в общее решение, получаем:

• y(t) = 0 * cos(3t) + 1 * sin(3t) = sin(3t)

Ответ: Решение задачи общего дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями: y(t) = sin(3t).