Похожие вопросы
2025-08-30 19:52:02
Каково общее решение дифференциального уравнения y'' + 4y = 0 из следующих вариантов:
- a) y = C1e^{2x} + C2xe^{2x};
- b) y = C1e^{-2x} + C2xe^{-2x};
- c) y = C1e^{2x} + C2e^{-2x};
- d) y = C1cos2x + C2sin2x;
- e) y = C1 + C2e^{-2x}.
Алгебра 11 класс Дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальное уравнение общее решение алгебра 11 класс y'' + 4y = 0 математические методы решение уравнения функции постоянные C1 C2
2025-08-30 19:52:27
Для того чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения y'' + 4y = 0, мы начнем с анализа характеристического уравнения, связанного с данным уравнением.
Шаг 1: Записать характеристическое уравнение.
Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами можно преобразовать в характеристическое уравнение, подставив y = e^(rx), где r - корень характеристического уравнения. В нашем случае, мы получаем:
r^2 + 4 = 0.
Шаг 2: Найти корни характеристического уравнения.
Решим уравнение:
- r^2 = -4
- r = ±2i.
Корни r = ±2i являются комплексными.
Шаг 3: Записать общее решение.
Для комплексных корней вида α ± βi, общее решение имеет вид:
y = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx)).
В нашем случае, α = 0 и β = 2, поэтому общее решение будет:
y = C1cos(2x) + C2sin(2x).
Шаг 4: Выбор правильного варианта ответа.
Теперь, сравнив с предложенными вариантами, мы видим, что:
- Вариант d) y = C1cos2x + C2sin2x соответствует нашему общему решению.
Ответ: Общее решение дифференциального уравнения y'' + 4y = 0 - это вариант d) y = C1cos2x + C2sin2x.