Как найти значение a, решая систему уравнений: x ^ 2 + y ^ 2 = 1 и x ^ 2 + a = y?

Алгебра 11 класс Системы уравнений система уравнений найти значение a алгебра 11 класс решение уравнений x^2 + y^2 = 1 x^2 + a = y математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для нахождения значения a, решая систему уравнений:

• 1) x^2 + y^2 = 1 (уравнение окружности радиуса 1 с центром в начале координат)
• 2) x^2 + a = y (линейное уравнение, где a является параметром)

Следуем следующему алгоритму:

1. Подставим второе уравнение в первое. Для этого выразим y из второго уравнения:
• y = x^2 + a
2. Заменим y в первом уравнении:
• x^2 + (x^2 + a)^2 = 1
3. Раскроем скобки:
• x^2 + (x^4 + 2ax^2 + a^2) = 1
4. Соберем все члены в одно уравнение:
• x^4 + (1 + 2a)x^2 + (a^2 - 1) = 0
5. Теперь это квадратное уравнение относительно x^2. Обозначим z = x^2, тогда уравнение принимает вид:
• z^2 + (1 + 2a)z + (a^2 - 1) = 0
6. Для того чтобы у уравнения были решения, необходимо, чтобы его дискриминант был неотрицательным:
• D = (1 + 2a)^2 - 4 * 1 * (a^2 - 1) ≥ 0
7. Упростим дискриминант:
• D = (1 + 2a)^2 - 4(a^2 - 1)
• D = 1 + 4a + 4a^2 - 4a^2 + 4 = 5 + 4a
8. Теперь найдем условие для a:
• 5 + 4a ≥ 0
• 4a ≥ -5
• a ≥ -5/4

Таким образом, значение a должно быть больше или равно -5/4, чтобы система уравнений имела решения.