Как определить точку минимума функции y = - x / (x^2 + 1)?
Я не могу вычислить производную. У меня получается -2x^-1. В общем, помогите!

Алгебра 11 класс Производная и экстремумы функций точка минимума функция производная алгебра 11 класс вычисление производной Новый

Чтобы определить точку минимума функции y = - x / (x^2 + 1), нам нужно найти её производную и затем решить уравнение, равное нулю. Давайте разберёмся по шагам.

Шаг 1: Найти производную функции

Функция имеет вид:

y = - x / (x^2 + 1).

Для нахождения производной мы используем правило деления: если u = -x и v = x^2 + 1, то производная y будет вычисляться по формуле:

(u/v)' = (u'v - uv') / v^2.

Шаг 2: Найдем u' и v'

• u = -x, тогда u' = -1.
• v = x^2 + 1, тогда v' = 2x.

Шаг 3: Подставим в формулу производной

Теперь подставляем найденные значения в формулу:

y' = (u'v - uv') / v^2 = (-1)(x^2 + 1) - (-x)(2x) / (x^2 + 1)^2.

Упрощаем:

y' = -(x^2 + 1) + 2x^2 / (x^2 + 1)^2 = (x^2 - 1) / (x^2 + 1)^2.

Шаг 4: Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

(x^2 - 1) / (x^2 + 1)^2 = 0.

Числитель равен нулю, если x^2 - 1 = 0. Решим это уравнение:

• x^2 - 1 = 0
• x^2 = 1
• x = ±1.

Шаг 5: Определим, является ли это минимумом или максимумом

Теперь нам нужно проверить, являются ли найденные точки минимумами или максимумами. Для этого мы можем использовать второй производный тест или просто подставить значения в первую производную:

• Для x = -1: y'(-1) = ((-1)^2 - 1) / ((-1)^2 + 1)^2 = (1 - 1) / (1 + 1)^2 = 0.
• Для x = 1: y'(1) = (1^2 - 1) / (1^2 + 1)^2 = (1 - 1) / (1 + 1)^2 = 0.

Теперь проверим знак производной перед и после критических точек:

• Для x < -1, например, x = -2: y'(-2) > 0 (функция возрастает).
• Для -1 < x < 1, например, x = 0: y'(0) < 0 (функция убывает).
• Для x > 1, например, x = 2: y'(2) > 0 (функция возрастает).

Таким образом, мы видим, что:

• В точке x = -1 функция меняет знак с положительного на отрицательное, следовательно, это максимум.
• В точке x = 1 функция меняет знак с отрицательного на положительное, следовательно, это минимум.

Ответ: Точка минимума функции y = - x / (x^2 + 1) находится в x = 1.