Как определить, в каких промежутках функции возрастают и убывают для следующих квадратичных уравнений, применяя предложенный алгоритм:

1. y = x² + 10x - 3;
2. y = 4x² - 5;
3. y = -5x² - 15x + 7;
4. y = -8x² + 2x.

Алгебра 11 класс Промежутки возрастания и убывания функций квадратичные уравнения определение промежутков функция возрастает функция убывает алгоритм анализа алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить, в каких промежутках функции возрастают и убывают, нужно следовать определенному алгоритму. Рассмотрим его на примере предложенных квадратичных уравнений.

Шаг 1: Найти производную функции.

Производная функции показывает, как изменяется функция в зависимости от изменения переменной. Для квадратичной функции y = ax² + bx + c производная будет:

• y' = 2ax + b

Шаг 2: Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для этого мы решаем уравнение:

• 2ax + b = 0

Из этого уравнения можно выразить x:

• x = -b / (2a)

Шаг 3: Определить знаки производной.

После нахождения критических точек нужно выбрать тестовые точки в интервалах, которые образуются критическими точками, и подставить их в производную. Это поможет определить, где функция возрастает, а где убывает.

Применим алгоритм к каждому уравнению:

1. y = x² + 10x - 3

Производная: y' = 2x + 10.

Критическая точка: 2x + 10 = 0 → x = -5.

Знаки производной:

• Для x < -5: y' < 0 (функция убывает)
• Для x > -5: y' > 0 (функция возрастает)

Ответ: функция убывает на (-∞, -5) и возрастает на (-5, +∞).

2. y = 4x² - 5

Производная: y' = 8x.

Критическая точка: 8x = 0 → x = 0.

Знаки производной:

• Для x < 0: y' < 0 (функция убывает)
• Для x > 0: y' > 0 (функция возрастает)

Ответ: функция убывает на (-∞, 0) и возрастает на (0, +∞).

3. y = -5x² - 15x + 7

Производная: y' = -10x - 15.

Критическая точка: -10x - 15 = 0 → x = -1.5.

Знаки производной:

• Для x < -1.5: y' > 0 (функция возрастает)
• Для x > -1.5: y' < 0 (функция убывает)

Ответ: функция возрастает на (-∞, -1.5) и убывает на (-1.5, +∞).

4. y = -8x² + 2x

Производная: y' = -16x + 2.

Критическая точка: -16x + 2 = 0 → x = 1/8.

Знаки производной:

• Для x < 1/8: y' > 0 (функция возрастает)
• Для x > 1/8: y' < 0 (функция убывает)

Ответ: функция возрастает на (-∞, 1/8) и убывает на (1/8, +∞).

Таким образом, мы определили промежутки возрастания и убывания для всех предложенных квадратичных функций, следуя алгоритму.