Как раскрыть скобки, сделать замену и решить систему уравнений:

1. (x + 1)(y + 1) = 8
2. (x² - x + 1)(y² - y + 1) = 7

Алгебра 11 класс Системы уравнений раскрытие скобок замена переменных решение системы уравнений алгебра 11 класс уравнения с двумя переменными Новый

Для решения данной системы уравнений начнем с раскрытия скобок в первом уравнении и рассмотрим, как можно упростить оба уравнения.

Шаг 1: Раскрытие скобок

• Первое уравнение: (x + 1)(y + 1) = 8
• Раскроем скобки:
• (x * y + x + y + 1) = 8
• Теперь упрощаем:
• xy + x + y + 1 = 8
• Переносим 1 на другую сторону:
• xy + x + y = 7

Теперь у нас есть первое уравнение: xy + x + y = 7.

Шаг 2: Замена переменных

Для упрощения второго уравнения, сделаем замену:

• Обозначим: u = x + y и v = xy.

Теперь мы можем выразить первое уравнение через новые переменные:

• v + u = 7.
• Следовательно, v = 7 - u.

Шаг 3: Работа со вторым уравнением

Теперь перейдем ко второму уравнению:

• (x² - x + 1)(y² - y + 1) = 7.

Раскроем скобки во втором уравнении:

• x²y² - x²y + x² + y²x - y² + y + x - 1 = 7.

Это уравнение можно переписать с использованием u и v:

• Мы знаем, что:
• x² + y² = (x + y)² - 2xy = u² - 2v.
• Также x²y + xy² = xy(x + y) = vu.

Таким образом, второе уравнение можно переписать как:

• v(u² - 2v) - vu - 1 = 7.

Упрощаем это уравнение:

• vu² - 2v² - vu - 1 = 7.
• vu² - 2v² - vu - 8 = 0.

Шаг 4: Подстановка v = 7 - u

Теперь подставим v = 7 - u в полученное уравнение:

• (7 - u)u² - 2(7 - u)² - (7 - u)u - 8 = 0.

После подстановки мы получим уравнение только с переменной u. Решим его и найдем значение u, а затем подставим его обратно, чтобы найти v. После этого, зная u и v, мы сможем найти x и y, используя систему уравнений:

• u = x + y
• v = xy

Шаг 5: Решение уравнения

Теперь решим полученное уравнение относительно u и найдем значения x и y, используя уравнения u и v.

Таким образом, мы можем последовательно решить систему уравнений, используя раскрытие скобок, замену переменных и подстановку.