Как решить систему уравнений:

1. 2^x + 2^y = 10
2. x + y = 4

Алгебра 11 класс Системы уравнений решение системы уравнений алгебра 11 класс уравнения с двумя переменными 2^x + 2^y = 10 x + y = 4 Новый

Для решения данной системы уравнений:

1. Первое уравнение: 2^x + 2^y = 10
2. Второе уравнение: x + y = 4

Мы можем использовать второе уравнение для выражения одной переменной через другую. Например, выразим y через x:

y = 4 - x

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:

2^x + 2^(4 - x) = 10

Теперь упростим второе слагаемое:

2^(4 - x) = 2^4 * 2^(-x) = 16 / 2^x

Таким образом, уравнение примет следующий вид:

2^x + 16 / 2^x = 10

Теперь умножим все уравнение на 2^x, чтобы избавиться от дроби:

(2^x) * 2^x + 16 = 10 * 2^x

Это можно записать как:

(2^x)^2 - 10 * 2^x + 16 = 0

Теперь введем замену: пусть z = 2^x. Тогда уравнение становится:

z^2 - 10z + 16 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 1 * 16 = 100 - 64 = 36

Так как D > 0, у нас два различных корня:

z1 = (10 + √36) / 2 = (10 + 6) / 2 = 16 / 2 = 8

z2 = (10 - √36) / 2 = (10 - 6) / 2 = 4 / 2 = 2

Теперь вернемся к переменной x, используя z = 2^x:

• Для z1 = 8: 2^x = 8, значит x = 3.
• Для z2 = 2: 2^x = 2, значит x = 1.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя y = 4 - x:

• Если x = 3, то y = 4 - 3 = 1.
• Если x = 1, то y = 4 - 1 = 3.

Таким образом, мы получили два решения для системы уравнений:

• (x, y) = (3, 1)
• (x, y) = (1, 3)

Ответ: (3, 1) и (1, 3).