Как решить систему уравнений методом замены переменных?

1. x + y - xy = 11
2. (x + y)xy = 30

Алгебра 11 класс Системы уравнений решение системы уравнений метод замены переменных алгебра 11 класс уравнения с двумя переменными система уравнений примеры Новый

Решение системы уравнений методом замены переменных можно разбить на несколько шагов. Давайте рассмотрим вашу систему:

• Первое уравнение: x + y - xy = 11
• Второе уравнение: (x + y)xy = 30

Для удобства, давайте введем новую переменную:

• Обозначим S = x + y
• Обозначим P = xy

Теперь выразим x + y и xy через S и P:

1. Из первого уравнения: S - P = 11, отсюда S = P + 11.
2. Подставим S в второе уравнение: (P + 11)P = 30.

Теперь у нас есть одно уравнение с одной переменной P:

(P + 11)P = 30

Раскроем скобки:

P^2 + 11P - 30 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 11, c = -30.
• Подставляем значения: D = 11^2 - 4 * 1 * (-30) = 121 + 120 = 241.

Теперь найдем корни уравнения:

P = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

P = (-11 ± √241) / 2.

Теперь у нас есть два значения для P. Найдем их:

• P1 = (-11 + √241) / 2
• P2 = (-11 - √241) / 2 (это значение отрицательное, поэтому мы его не рассматриваем, так как P = xy не может быть отрицательным).

Теперь, когда мы нашли P, подставим его обратно в выражение для S:

S = P + 11 = (-11 + √241) / 2 + 11 = (-11 + √241 + 22) / 2 = (√241 + 11) / 2.

Теперь у нас есть значения S и P:

• S = (√241 + 11) / 2
• P = (-11 + √241) / 2

Теперь нужно решить систему уравнений:

• x + y = S
• xy = P

Это система уравнений для x и y можно решить, используя формулы для корней квадратного уравнения:

t^2 - St + P = 0, где t - это переменные x и y.

Подставляем S и P:

t^2 - ((√241 + 11) / 2)t + ((-11 + √241) / 2) = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта и найдем значения x и y. После нахождения корней, мы сможем определить значения x и y, которые удовлетворяют исходной системе уравнений.

Таким образом, метод замены переменных позволяет нам упростить систему и решить её более эффективно.